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为什么秩小于n就线性相关
为什么n
维列向量的
秩
<n,那这个向量
就线性相关
呢?
答:
如果线性相关就说明n维里边至少有一个是可以用其他的表示的
,如果它的秩小于n,就说明至少有一个可以用n表示,如果等于n,说明所有的都不能互相表示,没有一个可以用其他的表示,所以线性无关。比如(a b c d 0)转至。这些都不能互相线性表示,所以说无关,它的质就是5....
线性相关
一定是
秩小于n
吗?
答:
充要条件。证明:(充分性)若n阶方阵a的行列式等于零,则a的行(列)向量组的
秩小于n
,则a的行(列)向量组
线性相关
。(必要性)若a的行(列)向量组线性相关,则a的行(列)向量组的秩小于n,则n阶方阵a的行列式等于零。
线性相关
怎样判断矩阵
秩
的大小?
答:
(矩阵的秩不超过其行数和列数中小的那个)所以 r(A)<=n
所以 A 的列向量组的秩 <= n 即 n+1个n维向量 的秩 <=n 故线性相关
。
矩阵a的
秩小于n
(n是未知数的个数),
为什么
a的列向量组
线性相关
?
答:
设a是m×
n
矩阵,ab=0且b非零,说明线性方程组ax=0有非零解,则r(a)由于r(b)=r(b^t),同理可由ab=0(即(b^t)(a^t)=0)且a非零,得出b的行向量组
线性相关
。线代的最核心方法就是用
秩
去刻画问题,秩在方程组的解的判定,向量组的线性相关无关,向量组的线性表示问题,向量组的极大...
为什么
A的行
秩小于n
,A的行向量组
线性相关
?
答:
这个可以反着想,如果A的行
线性无关
,则说明这n行线性无关,线性无关的n个向量(列可以取为n)的行列式不为零。若A的行
秩小于n
的,则由这n行n列组成的行列式为零,矛盾。因此A的行向量
线性相关
。
线性相关
r和
n
的关系
答:
当r为0时,表示向量之间不存在
线性相关
关系,即
线性无关
。根据线性代数理论,n个向量的线性相关关系可以用矩阵的秩进行判断,这n个向量组成的矩阵的
秩小于n
,则这些向量线性相关;矩阵的秩等于n,则这些向量线性无关。所以线性相关性的相关系数r与向量个数n之间的具体关系取决于向量的特点和关系。
为什么秩小于
列数
就线性相关
?
答:
因为可以将x1α1+x2α2+x3α3=0(假如只有三个向量)视为方程组 (α1, α2, α3)(x1, x2, x3)^T,如果对于行列式(α1, α2, α3)的秩等于其列数,那么方程组就只有唯一的零解,即x1=x2=x3=0。根据
线性相关
的定义,显然此时α1, α2, α3
线性无关
。因此只要
秩小于
列数那么它们...
为什么
向量组中向量个数大于维数的时候,向量组就一定
线性相关
呢?
答:
不用化简。向量组
线性相关
的充分必要条件是它们所拼成的矩阵的
秩小于
向量的个数。当向量个数大于维数时,矩阵的秩≤行数=向量维数<向量个数,所以向量组一定线性相关。
如何用
秩
判断
线性相关
? 线性代数问题
答:
设矩阵A为m*
n
阶矩阵。矩阵A的
秩
为r,若r=n,则矩阵列向量组
线性无关
,若r<n,则矩阵列向量组
线性相关
。同理若r=m,则矩阵行向量组线性无关,若r<m,则矩阵行向量组线性相关。向量组只包含一个向量a时,a为0向量,则说A线性相关; 若a≠0, 则说A线性无关。包含零向量的任何向量组是线性...
线性
代数,下图 练习 。A行向量的
秩小于
等于
n
吗?B怎么判断
相关
性?
答:
的第 k 行为:λ1β1 + λ2β2 + ... + λnβn = (0, 0, ..., 0)由于 λ1、λ2、...、λn 不全为零,所以 β1、β2、...、βn
线性相关
。用类似的方法,也可以证 A 的列向量线性相关。至于 A 的行向量的
秩
,永远是等于 A 的列向量的秩的,这道题中,严格
小于n
。
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