第1个回答 2013-11-22
欧拉公式有4条
（1）分式：
a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b)
当r=0,1时式子的值为0
当r=2时值为1
当r=3时值为a+b+c
（2）复数
由e＾iθ=cosθ+isinθ,得到：
sinθ=（e＾iθ-e＾-iθ）/2i
cosθ=（e＾iθ+e＾-iθ）/2
此函数将两种截然不同的函数---指数函数与三角函数联系起来，被誉为数学中的“天桥”。
当θ=π时，成为e＾iπ+1=0 它把数学中最重要的e、i、π、1、0联系起来了。
（3）三角形
设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则：
d＾2=R＾2-2Rr
（4）多面体
设v为顶点数，e为棱数，f是面数，则
v-e+f=2-2p
p为亏格，2-2p为欧拉示性数，例如
p=0 的多面体叫第零类多面体
p=1 的多面体叫第一类多面体
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第2个回答 2013-11-22
欧拉
欧拉公式
著名的数学家,瑞士人,大部分时间在俄国和法国度过.他17岁获得硕士学位,早年在数学天才贝努里赏识下开始学习数学,毕业后研究数学,是数学史上最高产的作家.在世发表论文700多篇,去世后还留下100多篇待发表.其论著几乎涉及所有数学分支.他首先使用f(x)表示函数,首先用∑表示连加,首先用i表示虚数单位.在立体几何中多面体研究中,首先发现并证明欧拉公式.
多面体
多面体的定义
若干个平面多边形围成的几何体
(1)
(2)
(3)
( 4 )
( 5 )
多面体的有关概念
多面体的面
棱
顶点
凸多面体
把多面体的任何一个面延伸为平面,如果所有其他各面都在这个平面的同侧,这样的多面体叫做凸多面体
多面体的分类
四多面体
五多面体
六多面体等
多面体
正多面体
每个面都是有相同边数的正多边形,且以每个顶点为其一端都有相同数目的棱的凸多面体,叫正多面体.
(1)
(2)
(3)
正四面体
正六面体
正八面体
正十二面体
正二十面体
多面体
(6)
( 7 )
( 8 )
简单多面体
表面经过连续变形能变成一个球面的多面体
( 5 )
讨论
问题1: (1)数出下列四个多面体的顶点数V,面数F,棱数E 并填表
(1)
(2)
(3)
图形编号
顶点数V
面数F
棱数E
(1)
(2)
(3)
(4)
规律:
V+F-E=2
4
6
4
8
6
12
6
8
12
20
12
30
(欧拉公式)
(4)
( 6 )
( 5 )
问题1: (2)数出下列多面体的顶点数V,面数F,棱数E 并填表
5
8
5
7
8
12
图形编号
顶点数V
面数F
棱数E
(5)
(6)
V+F-E=2
(欧拉公式)
简单多面体
讨论
问题2:如何证明欧拉公式
A
B
C
D
E
A1
B1
C1
D1
E1
A
B
C
D
E
A1
B1
C1
D1
E1
讨论
思考1:多面体的面数是F,顶点数是V,棱数是E,则平面图形中的多边形个数,顶点数,边数分别为
思考2:设多面体的F个面分别是n1,n2, ···,nF边形,各个面的内角总和是多少
(n1-2) ·1800+ (n2-2) ·1800+···+ (nF-2) ·1800=(n1+n2+···+nF-2F)· 1800
思考3: n1+n2+···+nF和多面体的棱数E有什么关系
n1+n2+···+nF =2E
F,V,E.
问题2:如何证明欧拉公式
讨论
A
B
C
D
E
A1
B1
C1
D1
E1
A
B
C
D
E
A1
B1
C1
D1
E1
多边形内角和=(E-F)·3600
思考4:设平面图形中最大多边形(即多边形ABCDE)是m边形,则它和它内部的全体多边形的内角总和是多少
2(m-2) ·1800+(V-m) ·3600=(V-2) ·3600
∴(E-F)·3600= (V-2) ·3600
问题2:如何证明欧拉公式
讨论
A
B
C
D
E
A1
B1
C1
D1
E1
A
B
C
D
E
A1
B1
C1
D1
E1
V+F-E=2
欧拉公式
问题3:欧拉公式的应用
例1 1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的三位科学家.C60是有60 个C原子组成的分子,它结构为简单多面体形状.这个多面体有60个顶点,从每个顶点都引出3条棱,各面的形状分别为五边星或六边形两种.计算C60分子中形状为五边形和六边形的面各有多少
解:设C60分子中形状为五边形和六边形的面各有x个和 y个.
由题意有顶点数V=60,面数=x+y,棱数E= (3×60)
根据欧拉公式,可得 60+(x+y) - (3×60)=2
另一方面,棱数也可由多边形的边数来表示,即
(5x+6y)= (3×60)
由以上两个方程可解出 x=12,y=20
答:C60分子中形状为五边形和六边形的面各有12个和20个.
例2,有没有棱数是7 的简单多面体
解:假设有一个简单多面体的棱数E=7.
根据欧拉公式得 V+F=E+2=9
因为多面体的顶点数V≥4,面数F≥4,所以只有两种情形:
V=4,F=5 或 V=5,F=4.
但是,有4 个顶点的多面体只有4个面,而四面体也只有四个顶点.所以假设不成立,没有棱数是7 的简单多面体