拉普拉斯算子
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拉普拉斯算子是n维欧几里德空间中的一个二阶微分算子，定义为梯度（▽f）的散度（▽·f）。
中文名
拉普拉斯算子
外文名
Laplace Operator
概 述
n维欧几里德空间的二阶微分算子
表示式
二维空间 N 维空间
恒等式
它们的乘积的拉普拉斯算子为
推 广
可能是椭圆型算子，双曲型算子
参考文献
Chapter12 ElectrostaticAnalogs
目录
1 定义
2 表示式
▪ 二维空间
▪ N 维空间
3 恒等式
4 推广
5 推广运行
6 参考文献
定义
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拉普拉斯算子是n维欧几里德空间中的一个二阶微分算子，定义为梯度（▽f）的散度（▽·f）。因此如果f是二阶可微的实函数，则f的拉普拉斯算子定义为：
f的拉普拉斯算子也是笛卡儿坐标系xi中的所有非混合二阶偏导数：
作为一个二阶微分算子，拉普拉斯算子把C函数映射到C函数，对于k≥ 2。表达式(1)（或(2)）定义了一个算子Δ :C(R) →C(R)，或更一般地，定义了一个算子Δ :C(Ω) →C(Ω)，对于任何开集Ω。
函数的拉普拉斯算子也是该函数的黑塞矩阵的迹
：
另外, 满足▽·▽f=0 的函数f, 称为调和函数.
表示式
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二维空间
其中x与y代表 x-y 平面上的笛卡儿坐标：
另外极坐标的表示法为：
三维空间
笛卡儿坐标系下的表示法
圆柱坐标系下的表示法
球坐标系下的表示法
N 维空间
在参数方程为（其中以及）的N维球坐标系中，拉普拉斯算子为：
其中是N− 1维球面上的拉普拉斯-贝尔特拉米算子。
恒等式
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如果f和g是两个函数，则它们的乘积的拉普拉斯算子为：f是径向函数f(r)且g是球谐函数Ylm(θ,φ)，是一个特殊情况。这个情况在许多物理模型中有所出现。f(r)的梯度是一个径向向量，而角函数的梯度与径向向量相切，因此：
球谐函数还是球坐标系中的拉普拉斯算子的角部分的特征函数：
因此：
推广
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拉普拉斯算子可以用一定的方法推广到非欧几里德空间，这时它就有可能是椭圆型算子，双曲型算子
，或超双曲型算子。
在闵可夫斯基空间中，拉普拉斯算子变为达朗贝尔算子：
达朗贝尔算子通常用来表达克莱因-高登方程以及四维波动方程。第四个项前面的符号是负号，而在欧几里德空间中则是正号。因子c是需要的，这是因为时间和空间通常用不同的单位来衡量；如果x方向用寸来衡量，y方向用厘米来衡量，也需要一个类似的因子。
推广运行
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主条目：拉普拉斯-贝尔特拉米算子
拉普拉斯算子也可以推广为定义在黎曼流形上的椭圆型算子，称为拉普拉斯-贝尔特拉米算子。达朗贝尔算子则推广为伪黎曼流形上的双曲型算子。拉普拉斯-贝尔特拉米算子还可以推广为运行于张量场上的算子（也称为拉普拉斯-贝尔特拉米算子）。
另外一种把拉普拉斯算子推广到伪黎曼流形的方法，是通过拉普拉斯-德拉姆算子，它运行于微分形式。这便可以通过Weitzenböck恒等式来与拉普拉斯-贝尔特拉米算子联系起来。
参考文献
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Feynman, R, Leighton, R, and Sands, M（1970）．“Chapter 12: Electrostatic Analogs”，The Feynman Lectures on Physics．Addison-Wesley-Longman． Gilbarg, D and Trudinger, N（2001）．Elliptic partial differential equations of second order．Springer．ISBN 978-3540411604． Schey, H. M.（1996）．Div, grad, curl, and all that．W W Norton & Company．ISBN 978-0393969979．
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最近更新：2015-05-28
创建者：名镜苑配镜
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