全微分方程是指可以被写成形如$M(x,y)dx + N(x,y)dy=0$的方程，其中$M$和$N$是$x$和$y$的一次多项式。
若该方程之中存在一个恰当的函数$\varphi(x,y)$，使得方程可以被写成$d\varphi(x,y) = 0$的形式，那么该方程就是全微分方程，同时方程的解可以直接通过对恰当函数$\varphi(x,y)$进行求导求出。
1、判断是否为全微分方程
若$M(x,y) \frac{\partial}{\partial y}N(x,y) = N(x,y) \frac{\partial}{\partial x}M(x,y)$，那么该方程有可能为全微分方程。令$f(x,y) = \int M(x,y)dx + C(y)$，$M(x,y)dx + N(x,y)dy=0$ 变为$d(f(x,y)) + C'(y)dy = 0$，因为$C'(y)dy$对$x$求偏导数得$0$，所以若此时能找到$C(y)$使得$d(f(x,y)) + C'(y)dy$恰为$0$，那么原方程就是全微分方程。
2、求解恰当函数$\varphi(x,y)$
可以通过两种方法来求解恰当函数：
(1) 偏导数法：$M(x,y)dx + N(x,y)dy$为全微分方程，若满足$\frac{\partial M(x,y)}{\partial y}= \frac{\partial N(x,y)}{\partial x}$，即$M(x,y)dy - N(x,y)dx = 0$为恰当形式，则恰当函数$\varphi(x,y)$可以表示为$\varphi(x,y) = \int M(x,y)dy = \int N(x,y)dx.$
(2) 积分因子法：存在一个非零函数$u(x,y)$，使得$u(x,y)M(x,y)dx + u(x,y)N(x,y)dy=0$为恰当形式，即可通过求解小学奥数中的乘法公式，求出积分因子$u(x,y)$。进而可以求出某个新方程，若该新方程为全微分方程，则原方程也为全微分方程。
3、求解全微分方程通解
假如已经通过上述方法求得恰当函数$\varphi(x,y)$，那么方程的通解可以直接写为$\varphi(x,y) = C$的形式，其中$C$是任意常数，它可以通过给定的边界条件来确定。
需要注意的是，如果方程不是全微分方程，那么就不能直接通过上述方法求解通解，需要考虑其他数值和符号计算方法求解。全微分方程通解的求法是通过求解恰当函数$\varphi(x,y)$，然后写出通解$\varphi(x,y) = C$的形式。
虽然通解形式简单，但要判断是否满足全微分方程和求解恰当函数都需要一定的数学功底和技巧。需要通过理论学习和实践运用，进一步提高对全微分方程的掌握和应用能力。
全微分方程的由来
全微分方程是早期微积分的一个重要研究对象，它的历史可以追溯到17世纪。欧拉和伯努利兄弟对全微分方程的研究起到了很大的推动作用，拉普拉斯和高斯等人也对此做出了重要贡献。全微分方程在热力学、物理学、化学、地理等多个领域有着广泛的应用，对于理解自然界的规律和进行科学研究具有重要的意义。