第1个回答 2013-10-02
几种求值域的方法
函数的值域问题及解法
函数y=f(x)的值域是函数值的取值范围,用集合表示为{y│y=f(x),x∈A}.
这里集合A是函数的定义域.由此可见,它与定义域密切相关.
值域的几何意义是函数图象上点的纵坐标的集合,也可以说成是函数图象纵向的分布范围.
一般来说，求值域比求定义域困难得多。求值域要根据解析式的结构特征选择适当的方法，具有较强的灵活性和一定的技巧性。
1．观察法
通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。用于简单的解析式。
y＝1－√x≤1,值域(－∞, 1] 本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。
2.配方法
当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域。
例3：求函数y＝x^2-4x+3的值域。
点拨：配方成完全平方式，利用二次函数的最值求。
点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。
3. 换元法
以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。
例2求函数y=x-3+√2x+1 的值域。
点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域。
解：设t=√2x+1 （t≥0）,则
x=1/2(t^2-1)。
于是 y=1/2×(t^2-1)-3+t=1/2×(t+1)^2-4≥1/2-4=-7/2.
所以，原函数的值域为｛y|y≥－7/2｝。
点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。
4. 不等式法
用不等式的基本性质，也是求值域的常用方法。
y=（e^x+1）/(e^x-1), (0<x<1).
∵0<x<1,
∴1<e^x<e, 0<e^x-1<e-1,
1/(e^x-1)>1/(e-1),
y=1+2/(e^x-1)>1+2/(e-1).值域(1+2/(e-1),＋∞).
5. 最值法
如果函数f(x)存在最大值M和最小值m.那么值域为[m,M].
因此,求值域的方法与求最值的方法是相通的.
6. 反函数法
函数和它的反函数的定义域与值域互换.
当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。
例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。
点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。
解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y|y≠1,y∈R｝。
点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。
7. 单调性法
若f(x)在定义域[a, b]上是增函数,则值域为[f(a), f(b)].减函数则值域为[f(b), f(a)].
y=x^2-4x+3,(-1≤x≤1).
y=(x-2)^2-1在[-1, 1]上是减函数,
F(-1)=8,f(1)=0, 值域[0, 8]. 点评：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。
8. 分离常数法
点拨：将原分式函数，利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。 y=(1+x)/(1-x)=2/(1-x)-1
≠-1,值域(－∞,-1)∪(-1,＋∞).
9．判别式法
若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。
例4求函数y=(2x^2－2x+3)/(x^2－x+1)的值域。
点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。
解：将上式化为（y－2）x^2－(y－2)x+(y-3)=0 （＊）
当y≠2时,由Δ=(y－2)^2－4（y－2）(y－3)≥0，解得：2＜y≤10/3 当y=2时,方程(＊)无解。∴函数的值域为2＜y≤10/3。
点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适应于形如y=(ax^2+bx+c)/(dx^2+ex+f)及y=ax+b±√(cx^2+dx+e)的函数。
10．图象法
通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。
例6求函数y=|x+1|+√(x-2)^2 的值域。
点拨：根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。
解：原函数化为
{－2x+1 (x≤-1)
y= {3 (-1<x≤2)
{2x-1 (x>2)
它的图象如图所示。
显然函数值y≥3,所以，函数值域[3，＋∞]。
点评：分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象
求函数的值域，体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。
点评：对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法。路漫漫其修远兮吾将上下而求索求值域方法 学法指导求值域方法