两道关于基本不等式求最值的问题

Question

如题所述

Answer 1

一、
解法一：
(a+b)^2=a^2+b^2+2ab
≤
a^2+b^2+a^2+b^2=2(a^2+b^2)=2(a+b)
(a+b)^2
≤
2(a+b)
(a+b)^2
-
2(a+b)
≤
0
0≤a+b≤2
解法二：
a^2+b^2=a+b
a^2-a+b^2-b=0
(a-1/2)^2+(b-1/2)^2=1/4+1/4
①
这是一个以（1/2，1/2）为圆心，(根号2)/2为半径的圆，
（x轴为a轴，y轴为b轴，即是把a看作x，b看作y），
令z=a+b，b=-a+z
②
这是一个线性规划的问题
当直线与圆的右上方相交时，z最大
②带入①有：
2x^2-2kx+k^2-k=0
△=0，
z=0（舍）或z=2
故a+b的最大值为2
二、
解：
ax+by
=2a(x/2)+2b(y/2)
≤a^2+(x/2)^2
+
b^2+(y/2)^2
=a^2+b^2+(x^2)/4+(y^2)/4
=1+1
=2