奥数裴波纳契型递推

Question

斐波那契数列解法中的一个问题求解?
这是解法
裴波那契数列：1,1,2,3,5,8,13,.裴波那契数列递推公式：F(n+2) = F(n+1) + F(n) F(1)=F(2)=1.
它的通项求解如下： F(n+2) = F(n+1) + F(n) => F(n+2) - F(n+1) - F(n) = 0 令 F(n+2) - aF(n+1) = b(F(n+1) - aF(n))
展开 F(n+2) - (a+b)F(n+1) + abF(n) = 0
显然 a+b=1 ab=-1 由韦达定理知 a、b为二次方程 x^2 - x - 1 = 0 的两个根 解得 a = (1 + √5)/2,b = (1 -√5)/2 或 a = (1 -√5)/2,b = (1 + √5)/2
令G(n) = F(n+1) - aF(n),则G(n+1) = bG(n),
且G(1) = F(2) - aF(1) = 1 - a = b,
因此G(n)为等比数列,G(n) = b^n ,
即 F(n+1) - aF(n) = G(n) = b^n ---(1) 在(1)式中分别将上述 a b的两组解代入,
由于对称性不妨设x = (1 + √5)/2,y = (1 -√5)/2,
得到： F(n+1) - xF(n) = y^n
F(n+1) - yF(n) = x^n
以上两式相减得： (x-y)F(n) = x^n - y^n F(n) = (x^n - y^n)/(x-y) = {[(1+√5)/2]^n-[(1-√5)/2]^n}/√5

Answer 1

思路：令G(n) = F(n+1) - aF(n),那么我们用n+1代替n,即：G(n+1)=F(n+2) - aF(n+1),
由于又有 F(n+2) - (a+b)F(n+1) + abF(n) = 0 =>F(n+2) - aF(n+1)=bF(n+1)-abF(n)=
b{F(n+1) - aF(n)}=bG(n) 即：G(n+1) = bG(n) /这里解释了为什么G(n+1) = bG(n)成立/
然后,我们应该思考要证明G(n)为等比数列,只需要说明一下G(1)不等于0即可,方法如下：
令G(n) = F(n+1) - aF(n)中n=1,则 G(1) = F(2) - aF(1) = 1 - a = b
所以,G(n)为等比数列