大学线性代数与解析几何

Question

请教过程，谢谢！

Answer 1

证明:

不失一般性，以α，β，γ的起点为原点，以α的方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系OXYZ。设α，β，γ的终点坐标分别为α（x1,0,0),β(x2,y2,z2),γ(x3,y3,z3),

则α，β，γ的终点决定的平面的两个向量

β-α={x2-x1,y2,z2}, 

γ-α={X3-x1,y3,z3}

向量αxβ+βxγ+γxα=

(行列式的和)

=(y2z3-z2y3)i+(-x1z2+z2x3-x2z3+x1z3)j+(x1y2+x2y3-x3y2-x1y3)k

={y2z3-z2y3，-x1z2+z2x3-x2z3+x1z3，x1y2+x2y3-x3y2-x1y3}

∵(αxβ+βxγ+γxα).(β-α)=(x2-x1)*(y2z3-z2y3)+y2*(-x1z2+z2x3-x2z3+x1z3)+z2*(x1y2+x2y3-x3y2-x1y3)=0

∴向量αxβ+βxγ+γxα和向量β-α 垂直。

同理可证(αxβ+βxγ+γxα).(γ-α)=0，向量αxβ+βxγ+γxα和向量γ-α 垂直，

∴α，β，γ的终点决定的平面垂直于向量αxβ+βxγ+γxα

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