f(x+y)=f(x)+f(y)的问题

Question

已知f(x+y)=f(x)+f(y)，能否推出f(x)是线性函数？如何推？

Answer 1

令y=x,得f(2x)=f(x)+f(x)=2f(x)
同理得f(3x)=3f(x)
……
得f(kx)=kf(x)
即为限性关系

Answer 2

好难

Answer 3

线性函数的定义:

设V是数域F上的一个线性空间, f是V到F的一个映射, 如果对于任意α, β∈V,
k∈F, f满足以下两条:
①f( α + β ) = f( α )+ f( β );
②f( kα ) = kf( α ).
则称f是V上的一个线性函数

f(x+y)=f(x)+f(y), 只满足第一条, 不满足第二条. 所以不能推出是线性函数.

举个简单例子, 例如逻辑代数里面的函数f(x)=1
f(1)+f(0) = 1+1 = 1 = f(1+0)
f(0)+f(0) = 1+1 = 1 = f(0+0)
f(1)+f(1) = 1+1 = 1 = f(1+1)
但是
f(0*1) = 1
0*f(1) = 0

f(0*1) ≠ 0*f(1), 所以不是线性函数本回答被提问者采纳

Answer 4

LOG 函数