已知点P（x0，y0）是椭圆E：x22+y2=1上任意一点x0y0≠1，直线l的...

Question

已知点P（x0，y0）是椭圆E：x22+y2=1上任意一点x0y0≠1，直线l的方程为x0x2+y0y=1 （Ⅰ）判断直线l与椭圆E交点的个数； （Ⅱ）直线l0过P点与直线l垂直，点M（-1，0）关于直线l0的对称点为N，直线PN恒过一定点G，求点G的坐标．

Answer 1

解：（I）由x22+y2=1x0x2+y0y=1，消去y，并整理得x02+2y024x2-x0x+1-y02=0，…（2分）
∵x022+y02=1，∴y02=2-x022，
∴x2-2x0x+x02=0，…（4分）
∴△=4x02-4x02=0，
故直线l与椭圆E只有一个交点…（5分）
（II）直线l0的方程为x0（y-y0）=2y0（x-x0），
即2y0x-x0y-x0y0=0．…（6分）
设M（-1，0）关于直线l0的对称点N的坐标为N（m，n），
则nm+1=-x02y02y0•m-12-x0n2-x0y0=0，
解得m=2x03+3x0 2-4x0-4x02-4n=2x04+4x03-4x02-8x02y0(4-x02)．…（8分）
∴直线PN的斜率为k=n-y0m-x0=x04+4x0 3+2x02-8x0-82y0(-x03-3x02+4)，
从而直线PN的方程为
y-y0= x04+4x03+2x02-8x0-82y0(-x03-3x02+4)(x-x0)，
即x=2y0(-x03-3x02+4)x04+4x03+2x02-8x0-8×y+1，
从而直线PN恒过定点G（1，0）．…（12分）