函数导数问题

Question

问题一：fx在某定义域内的导数大于等于零，能不能推出fx在该定义域内单调递增？？？还是必须是fx在某定义域内的导数大于零才能推出fx在该定义域内单调递增？？？【注：我们老师经常在题中用fx的导数大于等于零推出fx递增！！我认为有问题！！！】
问题二：求函数y=1/2x的平方-lnx的单调递减区间，我认为应该是对该函数求导，并且令导小于零求下来就是函数的单调递减区间，但是我们老师讲题时候说要令导小于等于零求下来才是它的单调递减区间！也就是正确答案是（0，1】而不是（0,1）！！！
但是我们老师又讲过函数的导小于等于零是函数为减函数的必要不充分条件，也就是说函数的导小于等于零不一定能推出来函数为减函数，那这样不是自相矛盾吗？？求解答

Answer 1

如果一个连续函数f（x），在定义域内f'（x）≥0，而且f'（x）=0的点只有一些孤立的点，即不存在某个连续区域内，f'（x）=0恒成立。
那么可以判断f（x）在定义域内单调递增。
反之如果一个连续函数f（x），在定义域内有f'（x）≤0，而且而且f'（x）=0的点只有一些孤立的点，即不存在某个连续区域内，f'（x）=0恒成立。
那么可以判断f（x）在定义域内单调递减。
主要是f'（x）=0的点，是否形成一个连续区域，还是只是一些孤立的点。追问

能回答一下问题二不，还有到底谁能推出谁啊，求您解答我真的快ran死了。。。

追答

第二问，x=1应该是增区间和减区间的分界点，所以不管是包括x=1，还是不包括x=1，都可以，有的书包括分界点，有的书不包括。
注意，单调区间的最基本的判断依据，是单调函数的定义，而不是什么一阶导数。在（0,1]区间内任取两个点x1＜x2，如果能满足f（x1）＞f（x2）恒成立，那么（0,1]就是单调减区间。所以写（0,1]是正确的。不过一般认为写（0,1）也正确，两种写法都可以。

总之对于可导函数f（x）而已（注意，是可导函数），f'（x）＞0当然能推导出f（x）单调递增；f'（x）＜0当然能得出f（x）单调递减。
但是反过来f（x）单调递减，不能推出f'（x）＜0；f（x）单调递增，不能推出f（x）单调递增。
所以对于完全的，没有遗漏的判断，就是前面我说的，f'（x）≥0，且f'（x）=0的点只有孤立点，就是单调递增。
例如f（x）=x³，在x=0处有f'（0）=0，但是这个函数在R上单调递增。

追问

也就是说fx的导数大于等于零并不能证明fx单调递增对吧
那经常有题要求讨论fx的单调性（也就是求fx的单调区间）老师讲题时是这样的：当参数等于多少多少时，fx的导数大于等于零，所以fx在某个区间单调递增！这是怎么一回事？？求您解答，真的真的非常谢谢您，在吗？？？？在吗？？？在吗

Answer 2

表明该函数可能存在极值点.
一阶导数等于0只是有极值的必要条件,不是充分条件,也就是说：
有极值的地方,其切线的斜率一定为0；
切线斜率为0的地方,不一定是极值点.
例如,y = x^3,y'=3x^2,当x=0时,y'=0,但x=0并不是极值点.
所以,在一阶导数等于0的地方,还必须计算二阶导数,才能作出充分的判断.追问

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