已知定义在R上的函数f(x)满足：f(1)=5/2,对任意非零实数x，总有f(x)>2.且对任意实数x,y总有：

Question

f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)成立。
（1）求f(0)的值，并证明f(x)是偶函数；
（2）若数列{an}(n在下标)满足，an=f(n),判断a(n+1)与an的大小关系，并证明你的结论
（3）设有理数a,b满足，a的绝对值<b的绝对值，判断f(a)与f(b)的大小关系，并证明你的结论。

Answer 1

解：
（1）∵f(1)=5/2
又∵f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)对于任意x,y恒成立，
∴令x=1,y=0,则：
f(1)f(0)=f(1)+f(1)
∴f(0)=2
再令x=0,则：
f(0)f(y)=f(y)+f(-y)
∴f(y)=f(-y),即：
f(x)=f(-x),x∈R
∴f(x)是偶函数
(2)
∵a(n+1)=f(n+1)=f(n)f(1)+f(n-1)=5f(n)/2 + f(n-1)
∴a(n+1) - an = 5f(n)/2 + f(n-1) - f(n)
=3f(n)/2 + f(n-1)
当n=1时：a2-a1=15/4+2>0
当n≥2时：有f(x)>2>0
∴3f(n)/2 + f(n-1) > 0
即a(n+1) > an
(3)
∵|a| < |b|
∴0 < a < b 或者 0 > a > b
令0<x1<x2,则：
根据（1）f(x)是偶函数，
∴f(x1-x2)=f(x2-x1)
f(x2-x1)f(x1)=f(x2)+f(x1-x1+x2)=2f(x2) > 0
f(x2)/f(x1) = f(x2-x1)/2
∵x2 ≠ x1
∴f(x2-x1) > 2,f(x2-x1)/2 >1
即：f(x2)/f(x1) > 1
f(x2) > f(x1)
在（0，+∞）上是增函数
根据偶函数特点，在（-∞，0）上是减函数
∴
当0 < a < b时：f(b)>f(a)
当0 > a > b时：f(a)<f(b)
综上：当|a|<|b|时
f(b)>f(a)

Answer 2

（1）因为 f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y），令y=0，f(x)f(0)=f(x+0)+f(x-0)，f(x)f(0)=2f(x)，f(x)≠0所以f(0)=2；
令x=0，得f(0)f(y)=f(y)+f(-y)，即2f(y)=f(y)+f(-y)，f(y)=f(-y)，f(x)是偶函数。
（2）令x=y=1，得f(1)f(1)=f(1+1)+f(1-1)，25/4=f(2)+2，f(2)=17/4，f(2)＞f(1)。即a2＞a1，以下可以用数学归纳法a(n+1)>an.

Answer 3

f(1)=2.5 对于任意实数x.y总有f(x)*f(y)=f(x y) f(x-y) …可以求出你想要具体的f(x)值。 对f(x)*f(y)=f(x y) f(x

Answer 4

(1)令x=0，y=0，则f（0）^2=f（0）+f（0）=2f（0），则f（0）=0或2，追问

没有问题的，都说了是非零实数才有f(x)>2，而且f（0）=0是不满足要求的（第一问问题不大，关键是后面两问）

追答

当x=x+1,y=1得
f（x+1)f(1)=f(x+2)+f(x)
5/2f(x+1)=f(x+2)+f(x)
2f(x+2)+2f(x)=5f(x+1)
2f(x+2)-f(x+1)=4f(x+1)-2f(x）
可得2f(n+1）-f(n）是以2f（2）-f（1）为首项，2为公比的等比数列
可计算得2f（n+1）-f（n）=3*2^n
左右同乘以2^n可得：
f（n+1）/(1/2)^n+1-f(n)/(1/2)^n =3*4^n
所以：
f(2)/(1/2)^2 - f(1)/(1/2) =3*4
f(3)/(1/2)^3 - f(2)/(1/2)^2 =3*4^2
.........
f(n)/(1/2)^n- f(n-1)/(1/2)^(n-1) =3*4^(n-1)
所以： f(n)/(1/2)^n - f(1)/(1/2) = 3*4 + 3*4^2 + ......+ 3*4^(n-1) = 4^n - 4
即f(n) = [(1/2)^n](4^n + 1)
就是an=[(1/2)^n](4^n + 1)
接下来就什么都好算了
比如第二问an=[(1/2)^n](4^n + 1)=2^n+（1/2）^n，
很容易判断an+1-an=2^n-（1/2）^n＞0

第二问出来了就很容易判断函数在0到正无穷上是递增的，在负无穷到0上是递减的，第三问也就跟着出来了
其实用楼下的方法也可以解出来，但是我就想把an的通项弄出来，还真弄出来了，也不知道对不

Answer 5

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