第1个回答 2022-08-28
正五边形的每个内角是(5－2)×180°/5＝108°
连接圆心和一条边的两端,得到一个等腰三角形,其底角为108°/2＝54°,顶角为180°－2×54°＝72°
设正五边形的边长为a,外接圆的半径为r,则r＝a/(2cos54°)＝a/(2sin36°)
下面给出sin36°的求法：
由于sin36°＝sin(180°＝36°)＝sin144°＝2sin72°cos72°
＝4sin36°cos36°[2(cos36°)^2－1]
由此得到 8(cos36°)^3－4cos36°－1＝0
(2cos36°＋1)[4(cos36°)^2－2cos36°－1]＝0
由4(cos36°)^2－2cos36°－1＝0解出
cos36°＝(1＋√5)/4,
sin36°＝√[1－(cos36°)^2]＝√(10－2√5)/4.
所以r＝a/(2sin36°)＝a/[2√(10－2√5)/4]＝2a/√(10－2√5)
＝(√(50＋10√5)a/10