什么是三角函数的正交

Question

如题所述

Answer 1

是指任何两个相异的函数的乘积在[0,π]上的定积分为0.
正交的概念来自于向量，两个向量正交就是两个向量垂直，特征是数量积为零。
三角函数系正交是借用向量正交的概念。没有直观的几何解释。

三角函数中,以公式多而著称.解题方法也较灵活,但并不是无法可寻,当然有它的规 律性,近几年的高考中总能体现出其规律性.而对三角函数的考查解法,归纳起来主要有以 下六种方法: 一.平方法 观察问题的条件和所求结论, 是同角三角函数正余弦代数和形式或正余弦积的形式, 可 考虑将代数和取平方.这样能有机地将和差与乘积结合起来,从而顺利求解. 例:已知 θ ∈(0,2π ) 且 sin θ , cos θ 是方程 x kx + k + 1 = 0 的两根,求 k 的值.
2
解析:由韦达定理得:
sin θ + cos θ = k (1) sin θ cos θ = k + 1 (2)
(1) 2 (2) × 2 得: 1 = k 2 2k 2 ,∴ k = 3 或 k = 1
又原二次方程满足 ≥ 0,∴ k ≥ 2 + 2 2 或 k ≤ 2 2 2
∴ 舍去 k = 3 得 k = 1
注:解决数学问题应掌握一些基本的技能,如"取平方""取对数""取倒数"等技巧, , , 以提高解题能力. 二.降幂法 涉及高次三角函数化简问题,常通过平方关系,倍角关系降幂得到解答. 例:已知 sin θ + cos θ=
4 4
A.
解析:∵ sin θ + cos θ
2 2
(
7 9
B.
7 9
)
5 ,则 cos 4θ = 9 1 C. 9 2 sin 2 θ cos 2 θ =
( D.
)
1 9
2
5 4 2 2 ,∴ 2 sin θ cos θ =9 9
∴
sin 2 2θ 4 1 cos 4θ 8 7 =,∴ = ,∴ cos 4θ = ,选 A. 2 9 2 9 9
注:本题降幂是一个重要环节,有很多涉及三角函数的化简,求值,性质等题目,入门 的关键是恰当运用平方关系,如 sin α + cos α = 1 和倍角公式如 2 sin α cos α =sin 2α ,
2 2
sin 2 α =
1 cos 2α 1 + cos 2α 2 , cos α = 等. 2 2
三.凑角法 还有一些求值问题, 通过观察角之间的关系, 恰当构造角使之与特殊角和其它角联系起 来,能找出解答途径. 例:已知
π
3 π π 3 3 5 < α < π , 0 < β< 且 cos α = , cos π + β =,求 4 4 4 4 5 4 13
1
sin (α + β ) 的值.
解析:由
π
3 π π 4 π < α < π 得 < α < 0 ,从而 sin α = 4 4 2 4 5 4
由0 < β <
π
4
得
3 3 12 3 π < π + β < π ,从而 cos π + β = 4 4 13 4
3 π π ∴ sin (α + β ) = cos+ (α + β ) = cos π + β α 2 4 4 3 π 3 π = cos π + β cos α + sin π + β sin α 4 44 4 12 3 5 4 = × × 13 5 13 5 = 56 65
注:三角函数的求值其重要的一环是扫除角的差异,函数名称的差异,式子结构的差 异.而凑角法是扫除这三个差异的重要方法. 四.换元法 解三角函数中的复合函数问题时,抓住特点巧妙换元可将复杂问题简单化. 例:已知函数 y = 2 + 2 sin x cos x+ sin x + cos x, x ∈ 0, 小值. 解析:令 sin x + cos x= t ,则可得 t ∈ [1, 2 ] 由 (sin x + cos x) 2 = t 2 ,得 2 sin x cos x = t 1
2
π ,求函数的最大值和最 2
∴ 原函数为 y = t 2 + t+ 1, t ∈ [1, 2 ] ,又 y = t 2 + t + 1 在 [1, 2 ] 上单增.
∴ y max = f ( 2 ) = 3 + 2, y min = f (1) = 3
注: 进几年高考热衷于复合三角函数问题, 通过换元将三角函数式变形转化为其它常见 的非三角函数问题,如转化为二次函数问题,这样会得到意想不到的效果. 五.讨论法 当涉及正负取舍或含参等的三角函数问题,往往要讨论作取舍. 例:已知 ABC 中, sin A =
5 4 , cos B = ,求 cos C 的值. 13 5 5 12 得 cos A =+ . 解析:由 sin A = 13 13
2
当 cos A =
12 时,∵ 0 < A + B < π 0 < A < π B < π , ∴ 13
据余弦函数的单调性得: cos A > cos(π B ) = cos B . 但 cos A =
12 4 12 < = cos B ∴ cos A ≠ . 13 5 13 12 33 当 cos A = 时,符合题意,故 cos C = cos( A + B ) = . 13 65
注:讨论法是将问题化整为零,化难为简的重要方法,一般在用平方关系涉及象限角问 题或含有绝对值的三角函数问题等,都得加以讨论. 六.图象法 在解决三角函数问题时,有时要借助图象才能更好地解决相应问题. 例:设 ω > 0 ,若函数 f ( x )= 2 sin ωx 在
π π , 上单调递增,求 ω 的取值范围. 3 4
2
解析:如图(右) ,据三角函数的图象及其性质 知 f ( x ) 在
π π , 上单增. 2ω 2ω
π 2ω
π 2ω
π π π π ∴ , 应该为 , 的子区间. 3 4 2ω 2ω
π π ≤ 3 ∴ 2ω π π ≥ 2ω 4
3 ∴ ω ∈ 0, . 2
注:三角函数的很多问题涉及图象,如能充分借助图象,进行直观分析,数形结合常能 快捷解答问题.

Answer 2

两个三角函数正交是指他们的乘积在 [-pi,pi] 上的积分等于零
三角函数正交系：1，sinx，cosx，sin2x，cos2x，sin3x，cos3x，sin4x，cos4x，...
他们中的任意两个不同的函数的乘积在 [-pi,pi] 上的积分都等于零
望采纳，谢谢~

Answer 3

什么是三角函数的正交

一时半会儿说不清楚。给你一个系统性的东东

三角函数的正交性

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Answer 4

什么是三角函数的正角，打开课本查询目录三角函数那一张上面有解释。

Answer 5

http://wenku.baidu.com/view/67a0cccdda38376baf1faec4.html本回答被网友采纳