解三元三次方程组

Question

{8(x^3+y^3+z^3)=73 ......(1) {2(x^2+y^2+z^2)=3(xy+yz+zx) ......(2) {xyz=1 ......(3).

Answer 1

解:
设u=x+y+z,v=xy+yz+zx,w=xyz,则原方程组等价于
8(u^3-3uv+3w)=73
......(1)
2(u^2-2v)=3v
......(2)
w=1
......(3)
解(1)、(2)、(3),得
u=7/2,v=7/2,w=1.
因(t-x)(t-y)(t-z)
=t^3-ut^2+vt-w
=t^3-(7/2)t^2+(7/2)t-1,
故x、y、z是关于t的3次方程:
t^3-(7/2)t^2+(7/2)t-1=0
......(1)
的三个根.
显然,t1=1是方程(1)的一个根,
故易求得另两个根为t2=1/2,t3=2
又原方程组关于x、y、z是对称的,故
(x,y,z)=(1/2,1,2),(1/2,2,1),(1,1/2,2),(1,2,1/2),(2,1/2,1),(2,1,1/2)
共有六组解!