都市城乡居民消费行为的数学模型。
2、建立数学模型寻找影响成都市城乡居民消费差异的主要因素或指标。
3、利用数学模型分析在近几年的时间内成都市城乡居民消费差异是扩大、缩小还是维持不变？
4、消费结构是在一定的社会经济条件下，人们在消费过程中所消费的各种不同类型的消费资料(包括劳务)的比例关系。请从消费结构的角度出发，建立有关成都市城乡居民消费结构变动的数学模型，并根据此模型预测仿真未来三年时间内成都市城乡居民消费结构的变动情况。
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江西省人口预测模型的建立与分析
一、摘要：
本文建立了两个人口增长预测模型，对未来人口问题和未来人口结构进行了分析与预测，并综合分析了未来我们人口发展中可能出现的问题及社会影响。
模型I：
无论是对于我国目前的经济发展状况还是未来的远景规划，人口问题的研究都具有十分重要的意义，马尔萨斯人口的模型的局限性，就因为它没有考虑到有限的生存空间与资源，生产力，文化水平等因素对出生率的影响，在考虑到有限的生存空间及资源后，于是本文又给出了模型Ⅱ。
模型Ⅱ：
建立只考虑现有的人口基数和人口增长率两个因素用于短期预测的阻滞增长人口预测模型（Logistic），并利用2001-2009年人口数据对该模型进行检验，2001年到2009年数据检验出总体上预测数据与实际数据符合程度较好，误差全都控制在3.8%以内。用此模型对未来20年内人口数据进行了预测，计算出未来各年总人口数，其中2015年社会总人数为4480.29万人，2020年人数为4646.93万人。
关键词：分析与预测 马尔萨斯模型 Logistic模型
二、问题的背景：
人口问题不仅是21世纪我省所面临的最重大的问题之一，而且在新世纪中将继续存在。无论是对我省目前经济发展状况的认识，还是对未来经济发展的预测，人口问题的研究都具有十分重要的意义。对人口进行预测是随着社会经济发展而提出来的。过去几千年，人类社会生产力水平低，生产发展缓慢，人口变动和增长也很迟缓，因而客观上对人口未来的发展变化的探讨显得必要性较小。当前生产力发展达到空前的水平，生产已经不是为满足生产者个人的需求，而是要面向社会的需求，所以必须了解需求和供应的未来趋势，协调人口、资源与环境的持续发展。
为了加快江西省的经济建设进程，全面落实科学的发展观。按照构建社会主义和谐社会的要求，坚持以人为本，推进体制改革，优先投资于人的全面发展：稳定低生育水平，提高人口素质，改善人口结构，引导人口合理分布。保障人口安全，实现人口大国向人力资本强国的转变，实现人口与的协调和可持续发展。我们确定人口发展战略，必须既着眼于人口本身的问题，又处理好人口与经济社会资源环境之间的相互关系，构建社会主义和谐社会，统筹解决人口数量、素质、结构、分布问题。因此建立一个人口增长预测的数学模型对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测就显得尤为重要了。
三、问题重述：
人口是反映省情、省力基本情况的重要指标,是区域研究所必须考虑的重要因素之一,分析现状、制定规划时首先要考虑的基本问题。例如评价一个国家或一个地区的发展潜力时离不开现在与今后各类人口数量、比例指数和年龄分布。故人口预测是制定和顺利实现社会经济各项战略设想的基础和出发点, 制定正确人口政策的科学依据。
江西省是一个人口大省，人口问题始终是制约我省发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。
近年来我省的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程速度加快、出生人口性别比持续升高、乡村人口城镇化、医疗卫生的提高等因素，这些都影响着中国人口的增长。
关于江西省人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。根据我省的实际情况和人口增长的上述特点，参考相关数据（同时也搜索相关文献和补充新的数据），提出以下问题：
（1） 建立江西省人口增长的数学模型，并由此对江西省人口增长的中短期和长期趋势做出预测.
（2） 分析模型中的优点和缺点。
四、模型假设：
（1）假设题中所给数据基本真实有效
（2）假设没有重大的自然灾害发生
（3）在较近一段时期，政府政策基本不发生重大变化
（4）在较近一段时期，医疗卫生条件保持不变
（5）所研究的问题没有太大的人口迁入与迁出
（6）男性比率之和和女性比例之和的总和在1附近。可以近似认为1
（7）假设现今有关人口方面的国策在长时间内不会发生重大的改变
（8）把研究的社会人口当作一个系统考虑，不考虑其与系统外的人口流动模型Ⅰ建立只考虑现有的人口基数和人口增长率两个因素用于短期预测的阻滞增（
http://provincedata.mofcom.gov.cn/)，得到了本论文中计算所用到的所有数据。
五、分析与建立模型
5.1模型I：指数增长模型（马尔萨斯人口模型malthus）
5.1.1模型的建立
记时刻t=0时人口数为 ，时刻t的人口为x(t),由于量大，x(t)可视为连续、可微函数。t到 时间段内人口是增量为：
于是x(t)满足微分方程：
……………(1)
5.1.2模型的求解：
解微分方程（1），得：
……………………………………….(2)
表明：
5.1.3模型的参数估计：
要用模型的结果（2）来预报人口，必须对其中的参数r进行估计，这可以用附录中附件1的表1中的数据通过拟合得到。
通过2000-2009年的数据拟合得r=0.02361拟合图如图1：
图1
5.1.4模型的检验：
将 代入公式（2），求出用指数增长模型预测的2000-2020年的人口数见图2和表2。
图2
江西省实际人口与按指数增长模型计算的人口比较
年（公元） 实际人口（万） 指数增长模型
预测人口（万） 误差（%）
2000 4140 3997.21 3.45
2001 4186 4028.51 3.76
2002 4222 4060.05 3.84
2003 4254 4091.85 3.81
2004 4284 4123.89 3.74
2005 4311 4156.18 3.59
2006 4339 4188.72 3.46
2007 4368 4221.52 3.35
2008 4400 4254.58 3.30
2009 4432 4287.89 3.25
表2
从表2中可以看出，2006-2009年间的预测人口数与实际人口数吻合较好，但2001-2005年的误差越来越大。
分析原因，该模型的结果说明人口将以指数规律无限增长，而事实上，随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制越来越显著。如果当人口较少的自然增长率可以看作常数的话，那么当人口增加到一定数量以后，这个增长率就要随着人口增加而减少，于是应该对指数增长模型关于人口净增长率是常数的假设进行修改。
5.1.5模型推广
利用上述模型对2010-2020年江西人口总数的预测，预测结果见表3
2010-2020江西预测人口
年（公元） 2010 2011 2012 2013 2014
预测人口（万） 4321.47 4355.3 4389.41 4423.78 4458.42
年（公元） 2015 2016 2017 2018 2019
预测人口（万） 4493.33 4528.51 4563.97 4599.71 4635.72
年（公元） 2020
预测人口（万） 4672.02
表3
5．2 模型I ：Logistic人口预测模型
5.2.1 模型的建立
logistic是根据malthus人口模型改进得来的，其中引入常数 （最大人口容量），用来表示自然环境条件所能容许的最大人口数。并假设：
人口增长率r为人口x(t)的函数r(x)(减函数)，x(t)为t时刻的人口，由于量大，x(t)可视为连续、可微函数，记时刻t=0时人口为 最简单地可假定r(x)=r-sx，r,s>0(线性函数)，r叫做固有增长率。
自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量为 。
当x= 时，增长率应为0，即r( )=0,于是s= ,代入r(x)=r-sx，得:
r(x)=r(1- )………………………（2）
将（2）式代入（1）式得：
模型： ……………（3）
5.2.2模型的求解
解方程（3）得：
X(t)= …………………（4）
根据方程（3）作出 的曲线图，见图1，由该图可看出人口增长率随人口数的变化规律，根据（4）的结果做出x-t曲线，见图2，由该图可看出人口数随时间的变化规律。
图2
图3
5.2.3模型的参数估计
利用表1中2000-2009年的数据对r和 拟合得：
r=0.03009, 18540
图5
5.2.4模型的检验
将r=0.03009, =18540代入公式（4），求出用指数增长模型预测的2000-2009年的人口数，见表4第3、4列，见图6。也可将方程（3）离散化，得：
x(t+1)=x(t)+ =x(t)+r[1- ]x(t),t=0,1,2,…… （5）
江西人口与按阻滞增长模型计算的人口比较
年（万） 实际人口（万） 阻滞增长模型
公式（4） 公式（5）
预测人口（万） 相对误差 预测人口（万） 相对误差
2000 4140 3997.98 0.0343
2001 4186 4029.23 0.0375 4167.82 0.0043
2002 4222 4066.66 0.0368 4214.44 0.0018
2003 4254 4092.27 0.0380 4250.93 0.0007
2004 4284 4124.04 0.0373 4283.37 0.0001
2005 4311 4156 0.0360 4313.79 0.0006
2006 4339 4188.13 0.0348 4341.16 0.0005
2007 4368 4220.44 0.0338 4369.56 0.0004
2008 4400 4252.92 0.0334 4398.97 0.0002
2009 4432 4285.58 0.0330 4431.42 0.0001
表4
图6
5.2.5模型应用
现应用该模型预测人口，用表1中2000-2009年的全部数据重新估
计参数，可得r=0.03402， 13040，用公式（4）作2010-2020年的人口预测得：见图7和表5：
图8
2010-2020年江西预测人口
年（公元） 2010 2011 2012 2013 2014
预测人口（万） 4316.55 4349.06 4381.69 4414.44 4447.30
年（公元） 2015 2016 2017 2018 2019
预测人口（万） 4480.29 4513.39 4546.61 4579.94 4613.38
年（公元） 2020
预测人口（万） 4646.93
表5
【模型评价】
优点：
[1]马尔萨斯人口预测模型是在当人口较少时人口自然增长率可以看做常数的话这是马尔萨斯模型对人口的预测比较方便简单准确。
[2]人口增长短期预测方面Lotistic模型效果比较好，理论比较成熟，且运算求解方法简单且Logistic模型所描述的变化过程符合人口的增长模式。运用阻滞增长模型原理，设立阈值，使预测结果与实际情况更接近。
缺点：
[1] 没有考虑到男女出生性别比例、城镇化程度、生育率和人口数量的关系，从而不能有效地避免了预测期太长导致误差出现累积效应而过大。
[2]随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著，我们这两个模型对人口的预测的误差就会越来越大。
六、参考文献
[1] 谭永基等，数学模型，[M]，上海：复旦大学出版社。
[2] 姜启源等，大学数学实验，[M]，北京：清华大学出版社。
[3] 赵静，但琦，数学建模与数学实验[M]第3版，高等教育出版社。
[4] 盛聚等，概率论与数理统计[M]，北京：高等教育出版社。
[5] 中华人民共和国国家统计局（
http://www.stats.gov.cn/tjsj/ndsj/）
[6] 薛定宇，陈阳泉，高等应用数学问题的MATLAB求解，[M]，北京：清华大学出版社，2004
[7]九江大论坛（
http://bbs.jxnews.com.cn/thread-307336-1-1.html）
七、附录
附件1：
2000-2009年江西人口统计表
年（公元） 2000 2001 2002 2003 2004
人口（万） 4140 4186 4222 4254 4284
年（公元） 2005 2006 2007 2008 2009
人口（万） 4311 4339 4368 4400 4432
表1
附件2：拟合程序
years=2000:1:2009;
population=[4140 4186 4222 4254 4284 4311 4339 4368 4400 4432];
y=2001:1:2008;
P=interp1(years,population,y,'spline');
plot(years,population,'+',y,P,years,population,'r:')
附件3：马尔萨斯人口预测模型程序
#include"stdio.h"
#include"math.h"
void main(void)
{
int gvelocity;
int dvelocity;
int year,total;
clrscr();
printf("total population of this year.\n");
scanf("%d",&total);
printf("per year grow velocity.\n");
scanf("%d",&gvelocity);
printf("per year die velocity.\n");
scanf("%d",&dvelocity);
printf("the result is after.\n”);
}
附件4：阻滞增长模型（Logistic模型）程序
Logistic模型 -x曲线程序：
xm=input('请输入xm=');
r=input('请输入r=');
n=1;
for x=0:0.1:xm
p(n)=r*x*(1-(x/xm));
n=n+1;
end
x=0:0.1:xm;
Plot(x,p);
Logistic模型曲线程序：
xm=input('请输入xm=');
r=input('请输入r=');
x0=input('请输入x0=');
n=input('请输入x坐标长度=');
i=1;
for t=0:0.5:n;
k=(xm/x0-1)*exp((-r)*t);
p=xm/(1+k);
x(i)=p;
i=i+1;
end
t=0:0.5:n
plot(t,x)