第1个回答 2011-05-06
首先公式a+b≥2√ab(a>0,b>0)是恒成立的，一楼已经 证明过了，所以不要求有一边为定值。
其次，在计算最值时为什么要要求一边为常数呢。如果不是常数a+b≥2√ab确定出的最小值则是≥min2√ab, a=b只能使不等式的等号成立，而不是取2√ab的最小值，此时，给不出表达式的最值的。
形象的解释：即在曲线a+b下面画了一条曲线2√ab，两曲线的重合点未必是曲线a+b的最低点，而出定值的不等式则是在曲线a+b下面画了一条水平线，重合的点必然是最低点。
第三，你题中的方法，使用a+b≥2√ab=2√(a+b+1)这一不等式中的a=b确定的并不是最小值，而是这个等式成立的条件，最小值为min2√(a+b+1)，只是恰好a+b≥2√(a+b+1)这个不等式自身能给出了a+b的最值a+b≥2+2√2（对应a=b恰好满足最值条件a-1=b-1）
综上，不等式恒成立，在应用中可以正常使用，只要a>0,b>0；求最值使用时尽可能使一边为定值，否则，a=b给出的仅是不等式成立的条件，而未必是最值的条件。
PS：作为反例y=x²+4/x≥4√x，则是典型的，曲线4√x在曲线x²+4/x的下方，x²=4/x时两曲线相切，但不是最小值点，随着x的减小，两曲线继续下降，只是4√x下降的更快，在取最小值x²=2/x时，4√x比x²+4/x的最小值还要小，即不等式x²+4/x≥4√x没有错，只是这种应用给不出最小值。所谓使不等式一边为定值的说法，不是不等式成立的条件，而是我们应用的一种指导原则。