a（n+1）=a（n）+1/a（n）,a（1）=1,这个数列的通项公式是什么？

Question

（n）表示下标，大家帮帮忙，做了很久了…… 谢谢，能给出这个类似的通项公式的证明吗？ 似乎难以类比，我再想想，谢谢。

Answer 1

这个式子我也研究很久了,感觉好像没有简单的通项公式.不过有一类与上面类似的递推式有简洁的通项公式.
如a[n+1]=a[n]/2+2/a[n],这个式子的通项公式为:
a[n]=2[(a[1]-2)^(2^(n-1))+(a[1]+2)^(2^(n-1))]/[(a[1]+2)^(2^(n-1))-(a[1]-2)^(2^(n-1))]
证明不是很难,可以用归纳法.但是直接推导就比较难了,对于这类问题我有两种常用的求解方法,现在介绍其中一种比较好理解的一种.
a[n+1]=(a[n]^2+4)/2a[n]
反复使用合比性可以得到:
(a[n+1]+2)/(a[n+1]-2)=(a[n]^2+4a[n]+4)/(a[n]^2-4a[n]+4)
即(a[n+1]+2)/(a[n+1]-2)=[(a[n]+2)/(a[n]-2)]^2
记b[n]=(a[n]+2)/(a[n]-2),则b[1]=(a[1]+2)/(a[1]-2)
b[n+1]=b[n]^2
两边同时取对数得到:
lgb[n+1]=2lgb[n]
所以lgb[n]=2^(n-1)*lgb[1]=lg(b[1]^(2^(n-1)))
从而b[n]=b[1]^(2^(n-1))
将a[n]代回得到:(a[n]+2)/(a[n]-2)=[(a[1]+2)/(a[1]-2)]^(2^(n-1))
由上式解出a[n]再化简就得到:
a[n]=2[(a[1]-2)^(2^(n-1))+(a[1]+2)^(2^(n-1))]/[(a[1]+2)^(2^(n-1))-(a[1]-2)^(2^(n-1))]