第1个回答 2014-02-05
离散数学：证明四阶群g必为循环群或klein群
2009-06-25 10:07luhongwei489 | 分类：学习帮助 | 浏览1851次
2009-06-26 15:16提问者采纳
证明 由拉格郎日定理可知,四阶群的元素的阶一定能整除群的阶4,故四阶群的元素的阶只能是1(幺元是唯一的1阶元),2,4,如果有一个元是4阶元,则该元自乘能生成群的所有元素,此时它是循环群,这个4阶元素是该循环群的生成元,否则如果除幺元外,所有的元均是2阶元,则此时该群正是4阶klein群.
对“如果除幺元外,所有的元均是2阶元,则此时该群正是4阶klein群”的一点说明：设其幺元为e，2阶元为a、b、c，则ab只能等于c，否则若ab=e，两边同左乘a得到b=a，矛盾；或者若ab=a，两边同左乘a得到b=e，矛盾；或者若ab=b，两边同右乘b得到a=e，矛盾。同理，ba=c，ac=ca=b，bc=cb=a。因此满足除幺元外,所有的元均是2阶元的四阶群唯一（即4阶klein群）。