微积分常用公式要全的已及二重积分的计算方法

Question

如题所述

Answer 1

利用极坐标计算二重积分，有公式
∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ
,其中积分区域是一样的。
I=∫dx∫(x^2+y^2)^-1/2
dy
x的积分上限是1,下限0
y的积分上限是x,下限是x??
积分区域D即为直线y=x,和直线y=x??在区间[0，1]所围成的面积，转换为极坐标后，θ的范围为[0,π/4],下面计算r的范围:
因为y=x??的极坐标方程为:rsinθ=r??cos??θ
r=sinθ/cos??θ
因为直线y=kx和曲线y=x??的交点为(0,0),(k,k??),所以在极坐标中r的取值范围为[0,sinθ/cos??θ],则积分I化为极坐标的积分为
I=∫dθ∫1/√(rcosθ)??+(rsinθ)??rdr
=∫dθ∫dr
(θ范围[0,π/4],r范围[0,sinθ/cos??θ])
=∫(sinθ/cos??θ)dθ(θ范围[0,π/4])
=∫(-1/cos??θ)dcosθ
=|1/cosθ|(θ范围[0,π/4])
=1/cos(π/4)-1/cos0
=√2-1