立体几何是高考数学命题的一个重点,空间中线线角、线面角的考查更是
重中之重. 其求解的策略主要有两种方法:其一是一般方法,即按照“作——证——解”的顺序进行;其一是
空间向量法,即建立直角坐标系进行求解. 在高考中常常以解答题出现,其试题难度属中高档题.
【方法点评】
使用情景:空间中线线角的求法
解题步骤:
第一步 首先将两异面直线平移到同一平面中;
第二步 然后运用
余弦定理等知识进行求解;
第三步 得出结论.
【例】 在下图的正方体中, 、 分别为棱 和棱 的中点,则异面直线 和 所成的角为( )
A. B. C. D.
【答案】B.
【解析】直线 与直线 平行, 为
正三角形,此时 与 所成角为 ,因此一名直线 和 所成的角为 .
使用情景:空间中线线角的求法
解题步骤:
第一步 首先建立适当的直角坐标系并写出相应点的空间直角坐标;
第二步 然后求出所求异面直线的空间直角坐标;
第三步 再利用 即可得出结论.
【例1】、如图,直三棱柱 中, , ,点 在线段 上.
(1)若 是 中点,证明: 平面 ;
(2)当 时,求直线 与平面 所成角的正弦值.
【分析】
(1)证明线面平行,一般利用线面平行判定定理,即从线线平行出发给予证明,而线线平行的寻找与论证,往往需要结合平几知识,如本题利用三角形中位线性质得线线平行
(2)求线面角,一般利用空间向量进行计算,先根据题意建立恰当的
空间直角坐标系,设立各点坐标,利用方程组求出面的
法向量,再根据向量数量积求出向量夹角,最后根据线面角与向量夹角互余的关系求解.
【解析】
(I)证明:连结 ,交 于 ,连结
因为直三棱柱 , 是AB中点,
所以侧面 为矩形,
为 的中位线,所以
因为 平面 , 平面
所以 平面
(II) , 平面 ,故如图建立空间直角坐标系
, , , ,
,
令平面 的法向量为 ,
由 ,得
设
所以 , ,
设直线 与平面 所成角为 .
.
故当 时,直线 与平面 所成角的正弦值为 .
【总结】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”:
第一,破“建系关”,构建恰当的空间直角坐标系;
第二,破“求坐标关”,准确求解相关点的坐标;
第三,破“求法向量关”,求出平面的法向量;
第四,破“应用公式关”.
【例2】、如图,正方形 的边长为 , 、 分别为线段 、 的中点,在五棱锥 中, 为棱 的中点,平面 与棱 、 分别交于点 、 .
(1)求证: ;
(2)若 底面 ,且 ,求直线 与平面 所成角的大小.
【分析】
(1)证明线面平行,一般利用线面平行判定定理,即从线线平行出发给予证明,而线线平行的寻找与论证,往往需要结合平几条件,如本题利用正方形性质得 ,从而有 平面 .而线线平行的证明,一般利用线面平行性质定理,即从两平面交线出发给予证明.
(2)利用空间向量解决线面角,一般先建立恰当的空间直角坐标系,设立各点坐标,利用方程组解出平面法向量,再根据向量数量积求夹角,最后根据线面角与向量夹角之间互余关系求大小.
【解析】
(1)证明:在正方形 中,因为B是 的中点,
所以
又因为 平面
所以 平面
因为 平面 ,且平面 平面 ,
所以 .
(2)因为 底面 ,所以 , ,如图建立空间直角坐标系
则 , , , , ,
设平面 的法向量为
则 ,即 ,
令 ,则 ,所以 .
设直线 与平面 所成角为 ,
则 ,
因此直线 与平面 所成角的大小为 .
【总结】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”:
第一,破“建系关”,构建恰当的空间直角坐标系;
第二,破“求坐标关”,准确求解相关点的坐标;
第三,破“求法向量关”,求出平面的法向量;
第四,破“应用公式关”.