三棱柱的底面是边长为√3 的等边三角形且侧棱与底面垂直，该三棱柱外接球的半径为2，则该三棱柱的体积

Question

三棱柱的底面是边长为√3 的等边三角形且侧棱与底面垂直，该三棱柱外接球的半径为2，则该三棱柱的体积为？

Answer 1

答案：2/9。解：该三棱柱的体心即外接球球心，而该三棱柱为直三棱柱，底面中心为距三角形顶点距离为1处，根据中心定理容易得出，而外接球球心则位于上下底面中心连线的1/2处所以设三棱柱高为h外接球半径为r由于底面中心到三角形顶点距离为1，根据勾股定理得：(1/2h)^2 1^2=r^2解出h=2√3所以三棱柱体积为V=1/2×√3×3/2×2√3=9/2