第一题:设该矩阵为A,A的特征多项式det(λI-A)=(λ+1)(λ-1)(λ-2),则A有3个不同的特征值λ1=-1,λ2=1,λ3=2,故原矩阵可以对角化为对角阵:diag(-1,1,2),下面给出变换矩阵P的求法:
解方程(-I-A)X=0,其中(-I-A)=
-5 -1 0
12 0 6
5 1 0
解得x1=1,x2=-5,x3=-2,
解方程(I-A)X=0,其中(I-A)=
-3 -1 0
12 2 6
5 1 2
解得x1=1,x2=-3,x3=-1,
解方程(2I-A)X=0,其中(I-A)=
-2 -1 0
12 3 6
5 1 3
解得x1=1,x2=-2,x3=-1,
故P=
1 1 1
-5 -3 -2
-2 -1 -1
此时有P^-1AP= diag(-1,1,2)
第二题:
(1) 经计算该矩阵的3阶子行列式均为零,而前两行前两列构成的2阶行列式不等于零,故该矩阵的前两列的列向量构成列空间的基底,(A basis for the column space Col(a))
(-1,1,-2)^T, (2,2,1)^T,
(2) 同理它的前两个行向量构成行空间的基底,
(-1,2,0,1)^T, (1,2,4,3)^T,
(3)矩阵A的零空间的维数等于4-2=2,故零空间的基底由2个向量构成的,任求下列齐次方程
-x1+2x2+x4=0
x1+2x2+4x3+3x4=0
两个无关解即可,如取x3=1,x4=0,代入求得一解,x1=-2,x2=-1,x3=1,x4=0,取x3=0,x4=1,代入再求得一解,x1=-1,x2=-1,x3=0,x4=1,这两个向量(-2,-1,1,0),(-1,-1,0,1)构成了零空间的的基底。
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