设f(x)在【a,b】上可导，,b-a>=4,证明存在点Xo属于（a,b）,使得f`(Xo)<1+(f(Xo))^2

Question

求解答过程..

Answer 1

反证法： 假设存在 那样的 f(x) 使得在（a,b）上f`(x)>=1+(f(x))^2.
于是 f 在[a,b] 上严格单增， 且可导。设 c=f(a), d=f(b), 于是存在 定义在[c,d]上的可导的函数 h(x) 为f的逆函数。
由 f`(x)>=1+(f(x))^2 ==> h'(x) <= 1 / (1+x^2)
定义 g(x) = h(x) - arctan(x), 则： g'(x) = h'(x) - 1/(1+x^2) <= 0, 于是 g是【c,d】上的减函数。==》 g(d) <= g(c)
h(d) - arctan(d) <= h(c) - arctan(c)
b - a <= arctan(d) - arctan(c) <= pi/2 - (-pi/2) = pi = 3.14...
这与 b-a >= 4 矛盾。 于是结论成立～

Answer 2

天文啊