用导数的定义求函数y=1/根号下x在x=1处的导数,要过程

Question

如题所述

Answer 1

用导数的定义求函数y=1/√x 在x=1处的导数

Δy=1/√(1+Δx)-1(通分得下一步)

=[1-√(1+Δx)]/√(1+Δx)(分母有理化得下一步)

=[√(1+Δx)-(1+Δx)]/(1+Δx)

Δy/Δx=[√(1+Δx)-(1+Δx)]/(1+Δx)Δx

y′= Δx→0lim(Δy/Δx)=Δx→0lim[√(1+Δx)-(1+Δx)]/(1+Δx)Δx(分子有理化得下一步）

=Δx→0lim[(1+Δx)-(1+Δx)²]/[√(1+Δx)+(1+Δx](1+Δx)Δx(分子展开化简得下一步)

=Δx→0limΔx(-1+Δx)/[√(1+Δx)+(1+Δx](1+Δx)Δx(消去分子分母的公因子Δx)

=Δx→0lim(-1+Δx)/[√(1+Δx)+(1+Δx](1+Δx)

=-1/2(取极限)