如何判断两个矩阵相似？

Question

如题所述

Answer 1

证明: 由已知, A^3α = 3Aα-2A^2α
所以 A(α,Aα,A^2α)=(Aα,A^2α,A^3α) = (Aα,A^2α,3Aα-2A^2α) =(α,Aα,A^2α)B
B=
0 0 0
1 0 3
0 1 -2

由于 α,Aα,A^2α线性无关, 所以 (α,Aα,A^2α)^-1A(α,Aα,A^2α)=B, 即 A 与 B 相似.
而B的特征值为 0,1,-3
所以 A 的特征值为0,1,-3
3阶矩阵A有3个不同的特征值,故A相似于对角矩阵.
又因为 A+E 的特征值为 1,2,-2
所以 |A+E| = 1*2*(-2) = -4.