第1个回答 2020-11-09
我不知道有多少人在问这个问题的时候，内心是多么的崩溃，看定义也就是那么回事：存在M，对于定义域中的任意x，总有|f(x)|<M。随手画一个图像，只要保证f(x)图像范围控制在[-M,M]之间就可以，看似很简单的一个问题，但感觉总是用不好，什么原因呢。第一，数学符号与文字之间来回切换没有做到熟练应用。高等数学中有界性出现最多的三个地方：极限的局部有界性、单调有界收敛准则、闭区间连续函数的有界性问题。对于第一个极限的局部有界性而言，我们要做的就是用数学翻译这个定理，什么叫“局部”，说白了就是一个小邻域，如果
,存在
,M>0，当
时，这就是邻域的数学表达，接下来翻译有界,就一句话|f(x)|<M,这就可以了，顺利翻译除了定理，在正常使用过程中，能够完整表述有界性就可以。而单调有界收敛准则就更简单了，只要利用不等式或者题设条件找到数列的最大值或者最小值，也可以是进行放缩。闭区间上连续函数的有界性性只要对定理进行数学描述就可以，如果f(x)在区间[a,b]上是连续的，一定存在M，使得|f(x)|N时候，就是无界，将无界与无穷大等价起来了，实际上无穷大只是无界的一种特殊情况，趋势比较有规律，而无界只是说函数取值可以比任何数都大，比如数列0.1，1，0.01，2，0.001，3，0.0001，4，。。。这个数列奇数子列越来越大，偶数列越来越小，取倒数后，数列的取值依然是一个大一个小的形式，还是无界的。所以多收集这样的反例细致区别与有界相近概念的差别。以动态眼光看待数学这各个变量的变化形式。这块有难题，但是一定是和其他知识综合起来了，本身内容比较简单，要理解透不难。