介绍一些深奥的,难解的,关乎哲学的数学理论,比如悖论

如题,谢了

第1个回答  2014-03-01
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悖论主要有逻辑悖论、概率悖论、几何悖论、统计悖论和时间悖论等。

罗素的悖论以其简单明确震动了整个数学界,造成第三次数学危机。但是,罗素悖论并不是头一个悖论。老的不说,在罗素之前不久,康托尔和布拉里·福蒂已经发现集合论中的矛盾。罗素悖论发表之后,更出现了一连串的逻辑悖论。这些悖论使入联想到古代的说谎者悖论。即“我正在说谎”,“这句话是谎话”等。这些悖论合在一起,造成极大问题,促使大家都去关心如何解决这些悖论。
头一个发表的悖论是布拉里·福蒂悖论,这个悖论是说,序数按照它们的自然顺序形成一个良序集。这个良序集合根据定义也有一个序数Ω,这个序数Ω由定义应该属于这个良序集。可是由序数的定义,序数序列中任何一段的序数要大于这段之内的任何序数,因此Ω应该比任何序数都大,从而又不属于Ω。这是布拉里·福蒂1897年3月28日在巴洛摩数学会上宣读的一篇文章里提出的。这是头一个发表的近代悖论,它引起了数学界的兴趣,并导致了以后许多年的热烈讨论。有几十篇文章讨论悖论问题,极大地推动了对集合论基础的重新审查。
布拉里·福蒂本人认为这个矛盾证明了这个序数的自然顺序只是一个偏序,这与康托尔在几个月以前证明的结果序数集合是全序相矛盾,后来布拉里·福蒂在这方面并没有做工作。
罗素在他的《数学的原理》中认为,序数集虽然是全序,但并非良序,不过这种说法靠不住,因为任何给定序数的初始一段都是良序的。法国逻辑学家茹尔丹找到—条出路,他区分了相容集和不相容集。这种区分实际上康托尔已经私下用了许多年了。不久之后,罗素在1905年一篇文章中对于序数集的存在性提出了疑问,策梅罗也有同样的想法,后来的许多人在这个领域都持有同样的想法。

经典数学悖论
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古今中外有不少著名的悖论,它们震撼了逻辑和数学的基础,激发了人们求知和精密的思考,吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力。解决悖论难题需要创造性的思考,悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。

本文将根据悖论形成的原因,粗略地把它归纳为六种类型,分上、中、下三个部份。这是第一部份:由概念自指引发的悖论和引进无限带来的悖论

(一)由自指引发的悖论

以下诸例都存在着一个概念自指或自相关的问题:如果从肯定命题入手,就会得到它的否定命题;如果从否定命题入手,就会得到它的肯定命题。

1-1 谎言者悖论

公元前六世纪,哲学家克利特人艾皮米尼地斯(Epimenides):“所有克利特人都说谎,他们中间的一个诗人这么说。”这就是这个著名悖论的来源。
《圣经》里曾经提到:“有克利特人中的一个本地中先知说:‘克利特人常说谎话,乃是恶兽,又馋又懒’”(《提多书》第一章)。可见这个悖论很出名,但是保罗对于它的逻辑解答并没有兴趣。

人们会问:艾皮米尼地斯有没有说谎?这个悖论最简单的形式是:

1-2 “我在说谎”

如果他在说谎,那么“我在说谎”就是一个谎,因此他说的是实话;但是如果这是实话,他又在说谎。矛盾不可避免。它的一个翻版:

1-3 “这句话是错的”

这类悖论的一个标准形式是:如果事件A发生,则推导出非A,非A发生则推导出A,这是一个自相矛盾的无限逻辑循环。拓扑学中的单面体是一个形像的表达。

哲学家罗素曾经认真地思考过这个悖论,并试图找到解决的办法。他在《我的哲学的发展》第七章《数学原理》里说道:“自亚里士多德以来,无论哪一个学派的逻辑学家,从他们所公认的前提中似乎都可以推出一些矛盾来。这表明有些东西是有毛病的,但是指不出纠正的方法是什么。在1903年的春季,其中一种矛盾的发现把我正在享受的那种逻辑蜜月打断了。”

他说:谎言者悖论最简单地勾画出了他发现的那个矛盾:“那个说谎的人说:‘不论我说什么都是假的’。事实上,这就是他所说的一句话,但是这句话是指他所说的话的总体。只是把这句话包括在那个总体之中的时候才产生一个悖论。” (同上)

罗素试图用命题分层的办法来解决:“第一级命题我们可以说就是不涉及命题总体的那些命题;第二级命题就是涉及第一级命题的总体的那些命题;其余仿此,以至无穷。”但是这一方法并没有取得成效。“1903年和1904年这一整个时期,我差不多完全是致力于这一件事,但是毫不成功。”(同上)

《数学原理》尝试整个纯粹的数学是在纯逻辑的前提下推导出来的,并且使用逻辑术语说明概念,回避自然语言的歧意。但是他在书的序言里称这是:“发表一本包含那么许多未曾解决的争论的书。”可见,从数学基础的逻辑上彻底地解决这个悖论并不容易。

接下来他指出,在一切逻辑的悖论里都有一种“反身的自指”,就是说,“它包含讲那个总体的某种东西,而这种东西又是总体中的一份子。”这一观点比较容易理解,如果这个悖论是克利特以为的什么人说的,悖论就会自动消除。但是在集合论里,问题并不这么简单。

1-4 理发师悖论

在萨维尔村,理发师挂出一块招牌:“我只给村里所有那些不给自己理发的人理发。”有人问他:“你给不给自己理发?”理发师顿时无言以对。

这是一个矛盾推理:如果理发师不给自己理发,他就属于招牌上的那一类人。有言在先,他应该给自己理发。 反之,如果这个理发师给他自己理发,根据招牌所言,他只给村中不给自己理发的人理发,他不能给自己理发。

因此,无论这个理发师怎么回答,都不能排除内在的矛盾。这个悖论是罗素在一九○二年提出来的,所以又叫“罗素悖论”。这是集合论悖论的通俗的、有故事情节的表述。显然,这里也存在着一个不可排除的“自指”问题。

1-5 集合论悖论

“R是所有不包含自身的集合的集合。”

人们同样会问:“R包含不包含R自身?”如果不包含,由R的定义,R应属于R。如果R包含自身的话,R又不属于R。

继罗素的集合论悖论发现了数学基础有问题以后,1931年歌德尔(Kurt Godel ,1906-1978,捷克人)提出了一个“不完全定理”,打破了十九世纪末数学家“所有的数学体系都可以由逻辑推导出来”的理想。这个定理指出:任何公设系统都不是完备的,其中必然存在着既不能被肯定也不能被否定的命题。例如,欧氏几何中的“平行线公理”,对它的否定产生了几种非欧几何;罗素悖论也表明集合论公理体系不完备。

1-6 书目悖论

一个图书馆编纂了一本书名词典,它列出这个图书馆里所有不列出自己书名的书。那么它列不列出自己的书名?

这个悖论与理发师悖论基本一致。

1-7 苏格拉底悖论

有“西方孔子”之称的雅典人苏格拉底(Socrates,公元前470-前399)是古希腊的大哲学家,曾经与普洛特哥拉斯、哥吉斯等著名诡辩家相对。他建立 “定义”以对付诡辩派混淆的修辞,从而勘落了百家的杂说。但是他的道德观念不为希腊人所容,竟在七十岁的时候被当作诡辩杂说的代表。在普洛特哥拉斯被驱逐、书被焚十二年以后,苏格拉底也被处以死刑,但是他的学说得到了柏拉图和亚里斯多德的继承。

苏格拉底有一句名言:“我只知道一件事,那就是什么都不知道。”

这是一个悖论,我们无法从这句话中推论出苏格拉底是否对这件事本身也不知道。古代中国也有一个类似的例子:

1-7 “言尽悖”

这是《庄子·齐物论》里庄子说的。后期墨家反驳道:如果“言尽悖”,庄子的这个言难道就不悖吗?我们常说:

1-7 “世界上没有绝对的真理”

我们不知道这句话本身是不是“绝对的真理”。

1-8 “荒谬的真实”

有字典给悖论下定义,说它是“荒谬的真实”,而这种矛盾修饰本身也是一种“压缩的悖论”。悖论(paradox)来自希腊语“para+dokein”,意思是“多想一想”。

这些例子都说明,在逻辑上它们都无法摆脱概念自指所带来的恶性循环。有没有进一步的解决办法?在下面一节的最后一部份还将继续探讨。
第2个回答  2014-03-01
(三)由一因多果片面推理引致的悖论

这种形式的悖论类似于诡辩。诡辩在现实中是令人厌恶的,但是在逻辑学的探讨中有相当的位置。孔多塞说:“希腊人滥用日常语言的各种弊端,玩弄字词的意义、以便在可悲的模棱两可之中困搅人类的精神。可是,这种诡辩却也赋予了人类的精神以一种精致性,同时它又耗尽了他们的力量来反对虚幻的难题。”

古希腊哲学流派中曾经有一个诡辩学派,又叫智者派。他们对自然哲学持怀疑态度,认为世界上没有绝对不变的真理。前面提到的普洛道格拉斯(Protagras,约公元前485-前410)是其著名的代表人物,他认为:“ 人是衡量万物的尺度。”雅典政府因其主张无神论,予以驱逐并焚烧了他的书籍。

从苏格拉底到亚里斯多德都反对诡辩学说,黑格尔说,苏格拉底常运用他的辩证法去攻击诡辩学派,尤其是普洛道格拉斯。尽管这些智者的理论多已失传,我们仍然可以从亚里斯多德的《形而上学》(吴寿彭译)中了解一些当时的论辩。

根据亚里斯多德的记载,柏拉图(Plato,公元前427-前347)曾说:诡辩是专讨论“无事物”的,因为诡辩派的论题老是纠缠于事物的属性。例如,“文明的”与“读书的”为同抑异,“文明的哥里斯可”与“哥里斯可” 是否相同?以及每一事物并不常是而今是者,是否便当成是,由兹而引致(悖解) 的结论(同上)。

斥形式逻辑而提倡辩证法的黑格尔(1770-1831)说柏拉图发明了辩证法。“柏拉图运用辩证法以指出一切固定的知性规定的有限性。他从一推演出多,但仍然指出多之所以为多,复只能规定为一。”(《小逻辑》)

亚里斯多德认为:凡现存的事物其生成与消失必有一个过程,而属性事物则不然。然而,我们还得尽可能地追踪偶然属性之本质与其来由;也许因此可得明白何以不能成立有关属性的学术(《形而上学》卷六章二)。在他看来,诡辩理论就是“有关属性的学术”而不是“属性之本质与其来由”。

诡辩完善的是学术体系,而不是知识。孔多塞在《人类精神进步史表纲要人类精神进步史表纲要》(何兆武、何冰译)的《第四个时代》中说:然而希腊的智者和希腊的学人, “并没有发现真理,反而是在铸造各种体系;他们忽视了对事实的观察,为的是自己好投身于自己的想象之中;他们既然无法把自己的意见置于证明的基础之上,便力图以诡辩来维护它们。”

可见,诡辩学派的致命点就是忽略“本质”而纠缠“属性”,从现存的事物中推论出悖解的结论来,而不详细考察事物的真实,在实践的基础上加以证明。对付诡辩最好的方式是运用辩证法并在实践中加以考证。

3-1 “什么是诡辩?”

有学生问他的希腊老师:“什么是诡辩?”老师反问到:“有甲乙两人,甲很干净,乙很脏。如果请他们洗澡,他们中间谁会洗?”

这里有四种可能,一是甲洗,因为他有爱干净的习惯;二是乙洗,因为他需要;三是两人都洗,一个是因为习惯,另一个是因为需要;四是两人都没洗,因为脏人没有洗澡的习惯,干净人不需要洗。这四种可能彼此相悖,无论学生作出怎样的回答,老师都可以予以反驳,因为他不需要有一个客观的标准,这就是诡辩。

3-2 “父在母先亡”

这是一个可以自圆其说的乩语。它也有四种解释:一是“父在,母先亡”;二是“父在母之先亡”;三是如果父母健在,可以解释为将来;四是即使父母都去世了,也可以解释为“父亲在的时候,母亲就去世了。”或者是“父亲在母亲以前就去世了。”真是左右逢源。

从逻辑顺序上看,上面这两个例子正好是反其道而用。无论正命题还是反命题都可以根据所谓的客观理由进行诡辩,形成自圆其说或诘难。所以葛拉西安在《智慧书:永恒的处世经典》中说:“诡辩是一种欺骗,乍一听,它蛮有道理,并因其刺激、新奇而令人心惊,但随后,当其虚饰之伪装被揭穿,就会自取其辱。”

3-3 邓析赎尸诡论

《吕氏春秋》记载了这样一个故事:洧水发了大水,淹死了郑国富户家的一员。尸体被别人打捞起来,富户的家人要求赎回。然而捞到尸体的人要价太高,富户的家人不愿接受,他们找邓析出主意。邓析说:“不用着急,除你之外,他还会卖给谁?”捞到尸体的人等得急了,也去找邓析要主意。邓析却回答:“不要着急,他不从你这里买,还能从谁那里买?”

邓析生在春秋末年,与老子和孔子基本同时,是战国名家的鼻祖,著名的讼师,他的著作已经失传。

同一个事实,邓析却推出了两个相反的结论,每一个听起来都合乎逻辑,但合在一起就荒谬了。邓析是不是希望他们相持一段时间后,双方都可以找到一个可以接受的价格平衡点?我们只能猜测。

后来,邓析被杀,就是因为子产认为他“以非为是,以是为非,是非无度,而可与不可日变”。可见,邓析是一个没有原则的人。身为讼师,邓析善于辞辩,而不跳出诡论寻找客观的解决办法。严谨的逻辑推理固然具有说服性,但最终还是要回到现实中来。

3-4 公孙龙论秦赵之约

《吕氏春秋》介绍过公孙龙的一个诡论:秦国与赵国订立条约:今后,秦国想做的,赵国帮助;赵国想做的,秦国帮助。不久,秦国兴师攻打魏国,赵国打算援救。秦王不高兴,差人对赵王说:秦国想做的,赵国帮助;赵国想做的,秦国帮助。现在秦国要打魏国,而赵国援救他们,这是违约。赵王把这个消息转告给平原君,平原君向公孙龙请教。公孙龙回答:“赵王也可以派人对秦王说:赵国打算援救魏国,现在秦国却不帮助赵国,这也不合乎条约。”

不管这个寓言的真实性如何,他的推理无懈可击。公孙龙对于秦赵之约的回应,与邓析赎尸诡论一脉相承。但公孙龙是站在弱小的赵魏这一边反对强秦的。

3-5 “彼亦一是非,此亦一是非。”

这是《庄子·齐物论》中的一句话,以强调事物的相对性而著称,比如,人睡在潮湿的地方会腰疼,但泥鳅会腰疼吗?人爬到高树上会胆怯,猿猴会腰疼吗?于是,他的结论是:“彼亦一是非,此亦一是非。”各有各的相对标准。

《团结报》曾经刊登过一篇一勺的《名师出高徒》。说康白情1919年前在北京大学选修马叙伦先生的“老庄哲学”,没有一次不迟到。有一次,马叙伦责问康白情为什么姗姗来迟。康白情回答:“住得太远。”马先生不以为然,反问道:从你的住处走到这里只要三、五分钟,怎么叫太远!康白情也不示弱,说:先生讲庄子,庄子说:“彼亦一是屋非,此亦一是非”。先生不以为远,而我以为远。马叙伦一时无话可说。

3-6 “我没有受贿”

一个商人被控受贿。他宣称:“我没有受贿。”

显然,这个商人既是观察者也是被观察者。我们不知道他是以观察者的身份进行辩护,还是以被观察者的身份进行诡辩。这两种推论都合乎逻辑,如果没有别的证据,就不能判决(引自“Web Dictionary of Cybernetics and Systems”)。

3-7 囚犯诡论

甲乙两人偷东西,人赃俱物。他们被分开审问,可能的惩罚如下:

甲否认乙否认:甲、乙各一年监禁
甲否认乙承认:乙释放、甲五年监禁
甲承认乙否认:甲释放、乙五年监禁
甲承认乙承认:甲、乙各三年监禁

甲乙二囚犯都会想到对自己最有利的去做:以甲而言,甲若承认,最多三年监禁,如果乙也承认;如果乙否认,甲马上获得自由。这个结果并不坏。这是博弈,乙也会同样这么想。如果甲改变主意,将冒监禁五年,而乙却获得自由;反之也一样。如果双方都改变主意,各监禁一年,也可以达到“共利”。

但是,这一决策的过程可能是无限的理性推理:假如我选择“共利”策略,我必定相信对方也将选择“共利”策略;假如我选择“私利”策略,对方也会选择“私利” 策略予以防范。这个“推己及人,推人及己”的过程可以无限地推下去,他的极限状态在博弈论里叫做“共享知识(CommonKnowledge)”,但是没有人可以达到这个状态,囚犯也摆脱不了这个悖论。
第3个回答  2014-03-01
(四)由名实相悖引起的悖论

古代中国有不少经典的悖论都来自名家。名家是战国时期的一个学派,他们的学说在于循名责实,但结果也往往被认为是流于诡辩。名家始于邓析,后有惠施、公孙龙等大家。

在古希腊,亚里斯多德认为:辩证家与诡辩派穿着与哲学家相同的服装,但不是一回事。对于诡辩术,智慧只是貌似而已,辩证家则将一切事物囊括于他们的辩证法中,而“实是”也是他们所共有的一个论题;因而辩证法也包含了原属于哲学的这些主题。诡辩术和辩证法谈论与哲学上同类的事物,但哲学毕竟异于辩证法者由于才调不同,哲学毕竟异于诡辩术者则由学术生活的目的不同。哲学在切求真知时,辩证法专务批评;至于诡辩术尽管貌似哲学,终非哲学(《形而上学》卷四章一)。

冯友兰先生在《中国哲学简史》第八章《名家》里有专门的讨论。他认为,中国的“名家”不完全等同于西方的诡辩家、逻辑家或辩证家。如果说古希腊的辩证家和诡辩派专攻属性而不是本质的话,那么名家则在于研究“名”与“实”的关系,而且重“名”甚于重“实”是他们的精神实质。这里的 “名实”就是名目与实际。冯友兰认为中国的名家应该翻译为“School of Name”以示区别,我在《不列颠百科全书》上看到的正是这样翻译的。

名与实关系的争论对中国哲学的影响巨大,如“孔子有正名、老子有无名、墨子有取实予名的争辩”。除名家以为,荀子对古逻辑学的贡献也很大。

公孙龙的辩论执名为实,“专决于名”而不落实到经验的事物,看看他的雄辩,就会发现一些奇怪的问题。《庄子·秋水篇》提到,公孙龙曾经自夸:“困百家之知,穷众口之辩”。

4-1 “白马非马”

战国时赵国人公孙龙曾经著有《公孙龙子》一书,平原君礼遇甚厚。其“白马非马”和“坚白异同之辩”都是他的著名命题。

据说,公孙龙有一次骑马过关,把关的人对他说:“法令规定马不许过。”公孙龙回答说:“我骑的是白马,白马不是马,这可是两回事啊。”公孙龙的“白马”有没有过关,我们不得而知。从常人的观点来看,守关的兵士八成认为公孙龙是在诡辩。这也是一个逻辑上“莫能与辩”,现实中不能成立的例子。

冯友兰认为《公孙龙子》里的《白马论》对“白马非马”进行了三点论证:

一是强调“马”、“白”、“白马”的内涵不同。“马”的内涵是一种动物,“白”的内涵是一种颜色,“白马”的内涵是一种动物加一种颜色。三者内涵各不相同,所以白马非马。

二是强调“马”、“白马”的外延的不同。“马”的外延包括一切马,不管其颜色的区别;“白马”的外延只包括白马,有颜色区别。外延不同,所以白马非马。

三是强调“马”这个共相与“白马”这个共相的不同。马的共相,是一切马的本质属性,它不包涵颜色,仅只是“马作为马”。共性不同,“马作为马”与“白马作为白马”不同。所以白马非马。

前面我们说到,辩证法是在对付诡辩论的过程中发展起来的。黑格尔在《小逻辑》中说:“辩证法切不可与单纯的诡辩相混淆。诡辩的本质在于孤立起来看事物,把本身片面的、抽象的规定,认为是可靠的。”(《逻辑学概念的进一步规定和部门划分》)

从辩证法的角度看,“白马非马”割断了个别和一般的关系。白马属于个性,特指白颜色的马;马属于一般,具有各种颜色马的共性。公孙龙区分了它们之间的差别,但是又绝对化了这种差别。白马尽管颜色上不同于其他的马,如公孙龙提到的黄马、黑马,但仍然是马。作为共性的“马”寓于作为个性的“白马”之中。“马”作为一般的范畴,包括各种颜色的马,公孙龙的白马自然也不例外。

4-2 “杀盗非杀人也”

这个命题与“白马非马”何其相似,尽管论证的方法和目的不同。荀子把墨辩“杀盗非杀人也”归入“惑于用名以乱名”的诡辩。荀子认为,在外延方面“人”的范畴包含了“盗”的范畴。所以,说“盗”的时候,就意味着说他同时也是“人”;杀“盗”也是杀人。

4-3 坚白石论

坚白石论指一块“坚白石”,它有坚、白、石三个要素组成。公孙龙主张“坚”为石头的特性,“白”为石头的颜色。眼睛看到的这块石头是白色的,手触摸到的这块石头才知到它是坚硬的;白色由视觉而得,坚硬由触觉而来,坚与白不能同时被认知。因此,公孙龙认为就一块坚白石而言,人不可能同时认识到其中三个组成要素:坚、白、石,而只能是坚石或白石。

这是从感知的角度来证明坚、白彼此分离,是分析方法的早期运用。“离坚白之辩”是古代中国的一个著名命题,习惯上人们并不接受,但是对于名家自身来讲,如果没有精密的思考,也不可能提出这些深刻的问题。

尽管名家在逻辑上的辩论天下无敌手,但是遭到诸家反对。庄子说他们:“饰人之心,易人之意,能胜人之口,不能服人之心,辩者之囿也。”《荀子》也认为:“虽辩,君子不听。”这的确是名家的吊诡。

中国古有名辩逻辑,唐代传入印度因明,近代又引进了西方逻辑,成为世界三大逻辑的汇合点。黑格尔在《小逻辑》里说:“一说到诡辩我们总以为这只是一种歪曲正义和真理,从一种谬妄的观点去表述事物的思想方式。但这并不是诡辩的直接的倾向。诡辩派原来的观点不是别的,只是一种‘合理化论辩’的观点。”这是针对古希腊人说的,对中国的名家来讲,同样适合。

4-4 怎么翻译?

英语里有一个Buchowski悖论:“My younger brother is older than I am.”

单纯地看这句话是一个悖论,实际上这个“我”有两个哥哥。小哥哥(younger brother)自然比他的年龄大。但是youngerbrother在英语里又有“弟弟”的意思,硬译过来,如果是:“我弟弟的年龄比我大。”为常识错误;如果是:“我的小哥哥的年龄比我大。”构不成悖论。

英语的brother与汉语里的“兄弟”并不完全对应。在这个例子里,汉语对“兄弟”作了进一步的划分,减少了歧意。
这是第三部分:由前提不自洽导致的悖论和由权变遭遇的悖论。