第1个回答 2014-08-17
一、内容综述:
四种常见函数的图象和性质总结 图象
特殊点
性质
一
次
函
数
与x轴交点
与y轴交点(0,b)
(1)当k>0时,y随x的增大而增大;
(2)当k<0时,y随x的增大而减小.
正
比
例
函
数
与x、y轴交点是原点(0,0)。
(1)当k>0时,y随x的增大而增大,且直线经过第一、三象限;
(2)当k<0时,y随x的增大而减小,且直线经过第二、四象限
反
比
例
函
数
与坐标轴没有交点,但与坐标轴无限靠近。
(1)当k>0时,双曲线经过第一、三象限,在每个象限内,y随x的增大而减小;
(2) 当k<0时,双曲线经过第二、四象限,在每个象限内,y随x的增大而增大。
二
次
函
数
与x轴交点或,其中是方程的解,与y轴交点,顶点坐标是 (-,)。
(1)当a>0时,抛物线开口向上,并向上无限延伸;对称轴是直线x=-, y最小值=。
(2)当 a<0时,抛物线开口向下,并向下无限延伸;对称轴是直线x=-, y最大值=
注意事项总结:
1.关于点的坐标的求法:
方法有两种,一种是直接利用定义,结合几何直观图形,先求出有关垂线段的长,再根据该点的位置,明确其纵、横坐标的符号,并注意线段与坐标的转化,线段转换为坐标看象限加符号,坐标转换为线段加绝对值;另一种是根据该点纵、横坐标满足的条件确定,例如直线y=2x和y=-x-3的交点坐标,只需解方程组就可以了。
2.对解析式中常数的认识:
一次函数y=kx+b (k≠0)、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)及其它形式、反比例函数y=(k≠0),不同常数对图像位置的影响各不相同,它们所起的作用,一般是按其正、零、负三种情况来考虑的,一定要建立起图像位置和常数的对应关系。
3.对于二次函数解析式,除了掌握一般式即:y=ax2+bx+c((a≠0)之外,还应掌握“顶点式”y=a(x-h)2+ k及“两根式”y=a(x-x1)(x-x2),(其中x1,x2即为图象与x轴两个交点的横坐标)。当已知图象过任意三点时,可设“一般式”求解;当已知顶点坐标,又过另一点,可设“顶点式”求解;已知抛物线与x轴交点坐标时,可设“两根式”求解。总之,在确定二次函数解析式时,要认真审题,分析条件,恰当选择方法,以便运算简便。
4.二次函数y=ax2与y=a(x-h)2+k的关系:图象开口方向相同,大小、形状相同,只是位置不同。y=a(x-h)2+k图象可通过y=ax2平行移动得到。当h>0时,向右平行移动|h|个单位;h0向上移动|k|个单位;k<0向下移动|k|个单位;也可以看顶点的坐标的移动, 顶点从(0,0)移到(h,k),由此容易确定平移的方向和单位。
二、例题分析:
例1.已知P(m, n)是一次函数y=-x+1图象上的一点,二次函数y=x2+mx+n的图象与x轴两个交点的横坐标的平方和为1,问点N(m+1, n-1)是否在函数y=-图象上。
分析:P(m, n)是图象上一点,说明P(m, n)适合关系式y=-x+1,代入则可得到关于m,n的一个关系,二次函数y=x2+mx+n与x轴两个交点的横坐标是方程x2+mx+n=0的两个根,则x1+x2=-m, x1x2=n, 由平方和为1即x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=1,又可得到关于m, n的一个关系,两个关系联立成方程组,可解出m, n,这种利用构造方程求函数系数的思想最为常见。
解:∵P(m,n)在一次函数y=-x+1的图象上,
∴ n=-m+1, ∴ m+n=1.
设二次函数y=x2+mx+n的图象与x轴的两个交点的横坐标为x1,x2,
∴x12+x22=1,
又∵x1+x2=-m, x1x2=n,
∴ (x1+x2)2-2x1x2=1, 即m2-2n=1
由解这个方程组得:或。
把m=-3, n=4代入x2+mx+n=0,
x2-3x+4=0, Δ<0.
∴ m=-3, n=4(舍去).
把m=1, n=0代入x2+mx+n=0,
x2+x=0, Δ>0
∴点N(2,-1),
把点N代入y=-,当x=2时,y=-3≠-1.
∴点N(2,-1)不在图象y=-上。
说明:这是一道综合题,包括二次函数与一次函数和反比例函数,而且需要用到代数式的恒等变形,与一元二次方程的根与系数关系结合,求出m、n值后,需检验判别式,看是否与x轴有两个交点。当m=-3, n=4时,Δ<0,所以二次函数与x轴无交点,与已知不符,应在解题过程中舍去。是否在y=-图象上,还需把点(2,-1)代入y=-,满足此函数解析式,点在图象上,否则点不在图象上。
例2.直线 y=-x与双曲线y=-的两个交点都在抛物线y=ax2+bx+c上,若抛物线顶点到y轴的距离为2,求此抛物线的解析式。
分析:两函数图象交点的求法就是将两函数的解析式联立成方程组,方程组的解既为交点坐标。
解:∵直线y=-x与双曲线y=-的交点都在抛物线y=ax2+bx+c上,
由 解这个方程组,得x=±1.
∴当x=1时,y=-1.
当x=-1时,y=1.
经检验:,都是原方程的解。
设两交点为A、B,∴A(1,-1),B(-1,1)。
又∵抛物线顶点到y轴的距离为2,∴ 抛物线的对称轴为直线x=2或x=-2,
当对称轴为直线x=2时,
设所求的抛物线解析式为y=a(x-2)2+k,又∵过A(1,-1),B(-1,1),
∴ 解方程组得
∴ 抛物线的解析式为y=(x-2)2-
即 y=x2-x-.
当对称轴为直线x=-2时,设所求抛物线解析式为y=a(x+2)2+k,
则有 解方程组得,
∴ 抛物线解析式为y=-(x+2)2+
y=-x2-x+.
∴所求抛物线解析式为:y=x2-x-或y=-x2-x+。
说明:在求直线和双曲线的交点时,需列出方程组,通过解方程组求出x, y值,双曲线的解析式为分式方程,所以所求x, y值需检验。抛物线顶点到y轴距离为2,所以对称轴可在y轴左侧或右侧,所以要分类讨论,求出抛物线的两个解析式。
例3、已知∠MAN=30°,在AM上有一动点B,作BC⊥AN于C,设BC的长度为x,△ABC的面积为y,试求y与x之间的函数关系式。
分析:求两个变量y与x之间的函数关系式,就是想办法用x表示y,,BC=x,则想办法先用含x的代数式表示AC。
解:如图
在Rt△ABC中,
∵∠A=30°,∠BCA=90° BC=x,
∴AC=BC=x
∴
说明:在含有30°、45°、60°的直角三角形中,应注意利用边之间的特殊倍数关系(如AC=BC)。
例4、如图,锐角三角形ABC的边长BC=6,面积为12,P在AB上,Q在AC上,且PQ∥BC,正方形PQRS的边长为x,正方形PQRS与△ABC的公共部分的面积为y。
(1)当SR恰落在BC上时,求x,
(2)当SR在△ABC外部时,求y与x间的函数关系式;
(3)求y的最大值。
略解:(1)由已知,△ABC的高AD=4。
∵△APQ∽△ABC,(如图一)
设AD与PQ交于点E ∴
∴
∴
(2)当SR在△ABC的外部时, 同样有,
则,即AE=
∴y=ED·PQ=x(4-)=-2+4x()
(3)∵a=-<0,y=-其中,
∴当x=3时,y取得最大值6.
说明:此例将线段PQ的长设为x,正方形PQRS与△ABC的公共部分的面积设为y,寻找它们之间的函数关系.注意自变量的取值范围;在y取最大值时,要注意顶点(3,6)的横坐标是否在取值范围内.
例5.( 潍坊市中考题)某公园草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成的,为牢固起见,每段护栏需按间距0.4m加设不锈钢管(如图一)作成的立柱。为了计算所需不锈钢管立柱的总长度,设计人员利用图二所示的坐标系进行计算。
(1)求该抛物线的解析式; (2)计算所需不锈钢管立柱的总长度。
分析:图中给出了一些数量,并已经过护栏中心建立了平面直角坐标系, 所以求二次函数的解析式关键是找到一些条件建立方程组。因为对称轴是 y轴,所以b=0,可以设二次函数为y=ax2+c.
解:(1)在如图所示坐标中,设函数解析式为y=ax2+c,B点坐标为(0,0.5),C点坐标为(1,0)。
分别代入y=ax2+c得:
,解得
抛物线的解析式为:y=-0.5x2+0.5
(2)分别过AC的五等分点,C1,C2,C3,C4,作x轴的垂线,交抛物线于B1,B2,B3,B4,则C1B1,C2B2,C3B3,C4B4的长就是一段护栏内的四条立柱的长,点C3,C4的坐标为(0.2,0)、(0.6,0),则B3,B4点的横坐标分别为x3=0.2,x4=0.6.
将x3=0.2和x4=0.6分别代入
y=-0.5x2+0.5得y3=0.48,y4=0.32
由对称性得知,B1,B2点的纵坐标:y1=0.32,y2=0.48
四条立柱的长为:C1B1=C4B4=0.32(m)
C2B2=C3B3=0.48(m)
所需不锈钢立柱的总长为
(0.32+0.48)×2×50=80(m)。
答:所需不锈钢立柱的总长为80m。
是否可以解决您的问题?