函数的连续性及其判断 下面是函数连续性的定义。设y=f(x)在点x0的邻域内有定义， （1）

Question

若lim(x->x0) f(x) = f(x0)，则称f(x)在点x0处连续。

（2）若lim(delta x -> 0) [ f(x0 + delta x) - f(x0) ] = 0，则称f(x)在点x=x0连续。

（3）若对任意给定的epsilon>0，总存在sigma>0，使得当|x-x0|<sigma时恒有|f(x)-f(x0)|<epsilon，则称f(x)在点x0连续。

请老师证明上述三种定义的等价关系。

Answer 1

若lim f '(x0)=A，则lim[x→x0] [f(x)-f(x0)]/(x-x0)=A
因此lim[x→x0+] [f(x)-f(x0)]/(x-x0)=A
lim[x→x0-] [f(x)-f(x0)]/(x-x0)=A
则：f+'(x0)=f-'(x0)=A
反之：若f+'(x0)=f-'(x0)=A
则lim[x→x0+] [f(x)-f(x0)]/(x-x0)=A
lim[x→x0-] [f(x)-f(x0)]/(x-x0)=A

因此：lim[x→x0] [f(x)-f(x0)]/(x-x0)=A
即f '(x0)=A