等差数列和等差等比数列的公共项是什么

Question

如题所述

Answer 1

设这两个数列的通项分别是
an=a1+(n-1)d,
bm=b1+(m-1)e,
则它们的公共项满足以下关系式:
a1+(n-1)d=b1+(m-1)e
可简化为nd-me=t,(t=b1-e-a1+d,为固定常数)
此不定方程有无数个解,令其一组特解为n=p,m=q,即
pd-qe=t,则(pd+de)-(qe+de)=t也能成立
即(p+e)d-(q+d)e=t
所以p,q为一组特解,通解就是p+ke,q+kd,
公共项组成的数列就是
a1+(p-1)d,a1+(p+e-1)d,a1+(p+2e-1)d,......
此数列的公差为de,所以也是等差数列