第1个回答 2020-05-08
根据海伦-秦九韶公式,我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。如下题:
已知四边形ABCD为圆的内接四边形,且AB=BC=4,CD=2,DA=6,求四边形ABCD的面积
这里用海伦公式的推广
S圆内接四边形=
根号下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)
(其中p为周长一半,a,b,c,d,为4边)
代入解得s=8√
3
[编辑本段]推广
关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有:
设△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,ha为a边上的高,R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径,p
=
(a+b+c)/2,则
S△ABC
=1/2
aha
=1/2
ab×sinC
=1/2
r
p
=
2R2sinAsinBsinC
=
√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
其中,S△ABC
=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
就是著名的海伦公式,在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。
[编辑本段]海伦公式在解题中有十分重要的应用。一、
海伦公式的证明
证一
勾股定理
如右图
勾股定理证明海伦公式。
证二:斯氏定理
如右图。
斯氏定理证明海伦公式证三:余弦定理
分析:由变形②
S
=
可知,运用余弦定理
c2
=
a2
+
b2
-2abcosC
对其进行证明。
证明:要证明S
=
则要证S
=
=
=
ab×sinC
此时S
=
ab×sinC/2为三角形计算公式,故得证。
证四:恒等式
恒等式证明(1)
恒等式证明(2)证五:半角定理
∵由证一,x
=
=
-c
=
p-c
y
=
=
-a
=
p-a
z
=
=
-b
=
p-b
∴
r3
=
∴
r
=
∴S△ABC
=
r·p
=
故得证。
二、
海伦公式的推广
由于在实际应用中,往往需计算四边形的面积,所以需要对海伦公式进行推广。由于三角形内接于圆,所以猜想海伦公式的推广为:在任意内接与圆的四边形ABCD中,设p=
,则S四边形=
现根据猜想进行证明。
证明:如图,延长DA,CB交于点E。
设EA
=
e
EB
=
f
∵∠1+∠2
=180○
∠2+∠3
=180○
∴∠1
=∠3
∴△EAB~△ECD
∴
=
=
=
解得:
e
=
①
f
=
②
由于S四边形ABCD
=
S△EAB
将①,②跟b
=
代入公式变形④,得:
∴S四边形ABCD
=
所以,海伦公式的推广得证。
[编辑本段]例题:
如图,四边形ABCD内接于圆O中,SABCD
=
,AD
=
1,AB
=
1,
CD
=
2.
求:四边形可能为等腰梯形。
解:设BC
=
x
由海伦公式的推广,得:
(4-x)(2+x)2
=27
x4-12x2-16x+27
=
0
x2(x2—1)-11x(x-1)-27(x-1)
=
0
(x-1)(x3+x2-11x-27)
=
0
x
=
1或x3+x2-11x-27
=
0
当x
=
1时,AD
=
BC
=
1
∴
四边形可能为等腰梯形。
在程序中实现(VBS):
dim
a,b,c,p,q,s
a=inputbox("请输入三角形第一边的长度")
b=inputbox("请输入三角形第二边的长度")
c=inputbox("请输入三角形第三边的长度")
a=1*a
b=1*b
c=1*c
p=(a+b+c)*(a+b-c)*(a-b+c)*(-a+b+c)
q=sqr(p)
s=(1/4)*q
msgbox("三角形面积为"&s),
,"三角形面积"
在VC中实现
#include<stdio.h>
#include<math.h>
main()
{
int
a,b,c,s;
printf("输入第一边\n");
scanf("%d",&a);
printf("输入第二边\n");
scanf("%d",&b);
printf("输入第三边\n");
scanf("%d",&c);
s=(a+b+c)/2;
printf("面积为:%f\n",sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)));
}
海伦公式