数学秦九韶公式的说明与推广

Question

如题所述

Answer 1

根据海伦-秦九韶公式，我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。如下题：
已知四边形ABCD为圆的内接四边形，且AB=BC=4,CD=2,DA=6，求四边形ABCD的面积
这里用海伦公式的推广
S圆内接四边形=
根号下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)
（其中p为周长一半，a,b,c,d,为4边）
代入解得s=8√
3
[编辑本段]推广
关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有：
设△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，ha为a边上的高，R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径，p
=
(a+b+c)/2,则
S△ABC
=1/2
aha
=1/2
ab×sinC
=1/2
r
p
=
2R2sinAsinBsinC
=
√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
其中，S△ABC
=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
就是著名的海伦公式，在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。
[编辑本段]海伦公式在解题中有十分重要的应用。一、
海伦公式的证明
证一
勾股定理
如右图
勾股定理证明海伦公式。
证二：斯氏定理
如右图。
斯氏定理证明海伦公式证三：余弦定理
分析：由变形②
S
=
可知，运用余弦定理
c2
=
a2
+
b2
－2abcosC
对其进行证明。
证明：要证明S
=
则要证S
=
=
=
ab×sinC
此时S
=
ab×sinC/2为三角形计算公式，故得证。
证四：恒等式
恒等式证明(1)
恒等式证明(2)证五：半角定理
∵由证一，x
=
=
－c
=
p－c
y
=
=
－a
=
p－a
z
=
=
－b
=
p－b
∴
r3
=
∴
r
=
∴S△ABC
=
r·p
=
故得证。
二、
海伦公式的推广
由于在实际应用中，往往需计算四边形的面积，所以需要对海伦公式进行推广。由于三角形内接于圆，所以猜想海伦公式的推广为：在任意内接与圆的四边形ABCD中，设p=
,则S四边形=
现根据猜想进行证明。
证明：如图，延长DA，CB交于点E。
设EA
=
e
EB
=
f
∵∠1+∠2
=180○
∠2+∠3
=180○
∴∠1
=∠3
∴△EAB～△ECD
∴
=
=
=
解得：
e
=
①
f
=
②
由于S四边形ABCD
=
S△EAB
将①，②跟b
=
代入公式变形④，得：
∴S四边形ABCD
=
所以，海伦公式的推广得证。
[编辑本段]例题：
如图，四边形ABCD内接于圆O中，SABCD
=
,AD
=
1,AB
=
1,
CD
=
2.
求：四边形可能为等腰梯形。
解：设BC
=
x
由海伦公式的推广，得：
(4－x)(2＋x)2
=27
x4－12x2－16x＋27
=
0
x2(x2—1)－11x(x－1)－27(x－1)
=
0
(x－1)(x3＋x2－11x－27)
=
0
x
=
1或x3＋x2－11x－27
=
0
当x
=
1时，AD
=
BC
=
1
∴
四边形可能为等腰梯形。
在程序中实现(VBS):
dim
a,b,c,p,q,s
a=inputbox("请输入三角形第一边的长度")
b=inputbox("请输入三角形第二边的长度")
c=inputbox("请输入三角形第三边的长度")
a=1*a
b=1*b
c=1*c
p=(a+b+c)*(a+b-c)*(a-b+c)*(-a+b+c)
q=sqr(p)
s=(1/4)*q
msgbox("三角形面积为"&s),
,"三角形面积"
在VC中实现
#include<stdio.h>
#include<math.h>
main()
{
int
a,b,c,s;
printf("输入第一边\n");
scanf("%d",&a);
printf("输入第二边\n");
scanf("%d",&b);
printf("输入第三边\n");
scanf("%d",&c);
s=(a+b+c)/2;
printf("面积为:%f\n",sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)));
}
海伦公式