线性代数证明题！关于方程组有解的充要条件。急求！！！

Question

如题所述

Answer 1

必要性一般较好证明：
假设AX=B有解，那么B是A的列向量的线性组合，

又知道Y0是AtY=0的解，故Y0和A的列向量正交（即内积为0），故Y0和A的列向量的线性组合B正交，即
Y0是BtY=0的解向量。

再来证充分性：
因为与A的列向量组正交的向量都与B正交，企图说明B是A的列向量组的线性组合即可。
假设A的列向量组的单位正交基为A1, A2, ..., AN，
那么考察列向量B-a1A1-a2A2-...-aNAN，这里ai = B内积Ai,
与A的列向量组正交，故B-a1A1-a2A2-...-aNAN与B正交,即
(B-a1A1-a2A2-...-aNAN)内积B = 0,
|B|^2 = (a1)^2 + (a2)^2 + ... + (aN)^2, 故B是A的列向量组的线性组合(因为B在扩展基的其他系数为0,否则上述模等式不成立)。