已知函数求函数的极值点.若恒成立,试确定实数的取值范围.证明:.

Question

已知函数 求函数的极值点. 若恒成立,试确定实数的取值范围. 证明:.

Answer 1

,当时,由,得,则在上是增函数,在上无极值点.当时,有倒数的符号可得在上是增函数,在
上是减函数,故时,取得极大值.
由)可知只需考虑,即可,化简得:.
由)知,当时,,,可得,故,故
,从而得出结果.
解:的定义域为,.
当时,,,则在上是增函数.
在上无极值点.
当时,令,则.
所以当时,,
在上是增函数,
当时,,在
上是减函数.
时,取得极大值.
综上可知,当时,无极值点;
当时,有唯一极值点.
由)可知,当时,,不成立.
故只需考虑.
由)知,,
若恒成立,只需即可,
化简得:.所以,的取值范围是.
)由)知,当时,,.
.
,,.
,,.
本题考查利用导数求函数的极值,函数的恒成立问题,不等式的证明,体现了分类讨论的数学思想,不等式的放缩,是解题的难点.