定义：若函数f（x）对于其定义域内的某一数x 0 ，有f（x 0 ）=x 0 ，则称x 0 是f（x）的一个不动点。已知

Question

定义：若函数f（x）对于其定义域内的某一数x 0 ，有f（x 0 ）=x 0 ，则称x 0 是f（x）的一个不动点。已知函数f（x）=ax 2 +(b+1)x+b-1(a≠0)。 (1) 当a=1，b=-2时，求函数f（x）的不动点；(2) 若对任意的实数b，函数f（x）恒有两个不动点，求a的取值范围；(3) 在(2)的条件下，若y=f（x）图象上两个点A、B的横坐标是函数f（x）的不动点，且A、 B的中点C在函数g（x）=-x+ 的图象上，求b的最小值。（参考公式：A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ）的中点坐标为 ）

Answer 1

解：（1）f（x）=x 2 -x-3， 由x 2 -x-3=0， 解得x=3或x=-1， 所以所求的不动点为-1或3。 （2）令ax 2 +（b+1）x+b+1=x， 则ax 2 +bx+b-1=0，① 由题意，方程①恒由两个不等实根， 所以△=b 2 -4a（b-1）>0， 即b 2 -4ab+4a>0对任意的b∈R恒成立， 则△′=16a 2 -16a<0，故0<a<1。 （3）依题意，设 ， 则AB中点C的坐标为 ， 又AB的中点在直线 上， ∴ ， ∴ ， 又x 1 ，x 2 是方程①的两个根， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴当 时，b min =-1。