矩阵的幂等于每个元素的幂吗？

Question

如题所述

Answer 1

设有矩阵A（nxn）. A^n 表示A被n个A矩阵连续左乘。在一般情况下，矩阵的乘幂要用到矩阵乘法的知识（不等于每个元素的幂）。
eg: A^3=A*A*A， A^4=A*A*A*A.
拓展知识：
当A可对角化时，可以将A写成：A=PDP^-1, 其中，矩阵P的列为A矩阵的全部特征向量，D为对角矩阵，且主对角线上各个元素为A的特征值，顺序与P中的特征向量一一对应。
A可对角化的条件：A有n个不同的特征值；
或：A有n个线性无关特征向量；

Answer 2

仅当矩阵为对角矩阵时，满足矩阵的幂等于矩阵中每个元素求幂，当矩阵为非对角矩阵时，可通过相似变换A=P-1*B*P，解得A^n=（P-1*B*P）^n=P-1*B*P*P-1*B*P*……*P-1*B*P=P-1*B^n*P