如何证明y=x的三次方在R上是增函式

Question

如题所述

Answer 1

如何证明y=x的三次方在R上是增函式

定义法：设任意实数x1<x2f(x1)-f(x2)=x1^3-x2^3=(x1-x2)(x1^2+x1x2+x2^2)=(x1-x2)[(x1+x2/2)^2+3x2^2/4]因为x1-x2<0x1,x2不同时为0，所以也有（x1+x2/2）^2+3x2^2/4>0所以上式f(x1)-f(x2)<0则f(x1)<f(x2)因此f(x)在R上为增函式

证明y=X的三次方在R上是增函式

设X2>X1
X2^3-X1^3=(X2-X1)*(X2^2+X1X2+X1^2),
等式左边横大于零，右边你拆开等于（x1+1/2x2）^2+3/4X2^2恒大与零，所以~等式恒大于0

证明f(x)=x的三次方+x在R上是增函式要过程

定义域x∈R f（-x）=(-x）3+(-x)=-x3-x=-f(x) f（x）是奇函式 任取x1 ＞x2＞0 △y=f（x1）-f（x2）=（x1）3+x1-(x2)3-x2 （分解因式x3-y3=（x-y）（x2+xy+y2）） =(x1-x2)(x12+x22+x1x2）+（x1-x2） =（x1-x2）（x12+x22+x1x2+1） （x1-x2）＞0 （x12+x22+x1x2+1）＞0 △y＞0 f（x）在（0，+∞）单调递增 f（x）是奇函式 ∴f（x）在R上递增

求证：f(x)=x三次方在R上是增函式

令a<b
则f(a)-f(b)=a^3-b^3
=(a-b)(a^2+ab+b^2)
a<b,所以a-b<0
a^2+ab+b^2=(a+b/2)^2+3b^2/4>=0
要取等号则a+b/2=0,b=0
则a=b=0,和a<b矛盾
所以等号取不到
所以a^2+ab+b^2>0
所以(a-b)(a^2+ab+b^2)<0
即a<b时
f(a)<f(b)
所以g(x)=x^3在R上为增函式

证明函式Y=X的三次方【X属于R】是增函式

因为一个数的平方是大于等于0的，所以 【（X1+二分之一X2）的平方+四分之三X2的二次方】是大于等于0的，而这个式子只有在x1和x2都为0时才等于0，因X1小于X2 ，所以这个式子只能大于0

证明函式f（x）=x三次方+x在R上是函式

f(x)=x^3+x
f'(x)=3x^2+1>0
所以f(x)在R上是增函式

函式y=x三次方在一切实数上是增函式

证明y=x^3的单调性
单调递增
证明：任设x1<X2,
y1=x1^3,y2=x2^3
做差比较 设任意的x1＜x2，
则y1-y2
=x1^3-x2^3
=（x1-x2)(x1^2-x1*x2+x2^2)
=（x1-x2){[x1-(1/2*x2)]^2+3/4*x2^2}
因为x1＜x2，故x1-x2＜0
又有{[x1-(1/2*x2)]^2+3/4*x2^2} ＞0
故（x1-x2){[x1-(1/2*x2)]^2+3/4*x2^2} ＜0
<X2,而[X1-(1
所以（y1-y2）<0,即y1<Y2
即随x的增大,y值也不断增大
所以y=x^3单调递增.

证明：幂函式y=x的三方在R上是增函式

设f(x)=y
任意取x1,x2∈R
且令x1>x2
所以f(x1)-f(x2)=x1^3-x2^3
=(x1-x2)(x1^2+x1*x2+x2^2)
=(x1-x2)[(x1+1/2*x2)^2+3/4*x2^2)
因为x1>x2
所以x1-x2>0
又因为(x1+1/2*x2)^2+3/4*x2^2)>0
所以f(x1)-f(x2)>0
所以f(x)=x^3在x∈R上单调增