证明1+xln(x+根号(x^2+1)>=根号(x^2+1) 证明不等式,高数函数单调性问题

如题所述

第1个回答 2022-09-14

f(x)=1+xln[x+√(x^2+1)]- √(x^2+1)
f'(x)=ln[x+√(x^2+1)]+x/√(x^2+1) -x/√(x^2+1)=ln[x+√(x^2+1)]
f'(-x)=ln[-x+√(x^2+1)]=-ln[x+√(x^2+1)]
x>0 时f'(x)>ln(1)=0
x

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证明:1+xln(x+根号(1+x^2))>根号(1+x^2)答：考虑到(arshx)'=1/√1+x^2>0是在R上的增函数且arsh(0)=0,所以x在R+上时恒有f'(x)=1+arshx>0 故f(x)=1+xln(x+√1+x^2)-√1+x^2在R+上是增函数 f(x)>f(0)=0 即在R+上恒有1+xln(x+根号(1+x^2))>根号(1+x^2)