勾股：
今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。问水深、葭长各几何？
答曰：水深一丈二尺；葭长一丈三尺。
术曰：半池方自乘，以出水一尺自乘，减之，馀，倍出水除之，即得水深。加出水数，得葭长。
勾股定理：
有一个一丈大小的池子，中央长有芦苇，高出水面一尺长。把芦苇拽向岸边，刚好与到岸。请问水有多深，芦苇有多高？
答案：水深一丈二尺，芦苇高一丈三尺。
计算方法：把池子的边长折半平方，加上水学的平方，用芦苇高度的平方减去前者之和，即可算出水的深度，加上一尺即芦苇高度。
即设水深x，则芦苇高（x+0.1）， 有：
“竹原高一丈，末折着地，去本三尺，问竹还高几何？”的译文是“有一根竹子原来高一丈，竹梢部分折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问竹干还有多高？” 设竹子顶端点为A，根端点为B，从C处折断，则A点落在地上，这里即有一个直角三角形ABC,B为直角，AC为斜边 根据条件，AC+BC=1丈=10尺，AB=3尺，所求为BC的长 根据勾股定理，可列方程如下： BC^2+3^2=(10-BC)^2 BC^2+9=100-20BC+BC^2 20BC=91 BC=4.55尺 即竹还高4.55尺。
1.在△ABC中，a=(m+n)的平方-1,b=2m+2n,c=(m+n)的平方+1。试判断△ABC的形状。
2.已知AD是△ABC的高，且AD的平方=BD·DC，那么△ABC是直角三角形吗？说明理由。
3.三角形三个内角度数的比是1:2:3，它的最大边为m，那么它的最小边是多少？
4.斜边上的高为m的等腰直角三角形的面积等于什么？
1.在△ABC中，a=(m+n)的平方-1,b=2m+2n,c=(m+n)的平方+1。试判断△ABC的形状。
解： ^2表示平方 ^4表示4次方
a^2=(m+n)^4-2(m+n)^2+1
b^2=4(m+n)^2
c^2=(m+n)^4+2(m+n)^2+1
b^2=c^2-a^2
所以该三角形为直角三角形
2.已知AD是△ABC的高，且AD的平方=BD·DC，那么△ABC是直角三角形吗？说明理由。
解：△ABC是直角三角形，^2表示平方
由AD^2=BD·DC得
AD/BD=DC/AD
因为AD垂直于BC
所以△ADB相似于△CDA
所以角ABD=角CAD 角BAD=角ACD,
因为角ADB=角ADC=90度
所以角ABD+角BAD=90度
所以角BAD+角CAD=90度
所以该三角行为直角三角形
3.三角形三个内角度数的比是1:2:3，它的最大边为m，那么它的最小边是多少？
根据正弦定理得：最小边为0.5m
4.斜边上的高为m的等腰直角三角形的面积等于什么？
解"
求出底边长为2m,
S=0.5*m*2m=m*m
首先你打出来可能是错的应该是：三角几何共八角，三角三角，几何几何三角+几何=八角钱 三角=三角钱，故几何=五角钱 因此：答案为：五角 下一句 竹高九尺，末折地，去本三尺，所折几许？ 竹子折而未断开.顶端（末指树梢）着地，与剩下植于土内的树桩、地面构成直角三角形.其中斜断部分为斜边c，竹子下段直立为一直角边b，地面上竹稍至竹根为另一直角边a，这里c+b=9,a=3.套勾股定理c²-b²=3²=9，得（c+b）(c-b)=9, c-b=9/(c+b)=9/9=1，由c+b=9,c-b=1联立方程组解出b=4尺就是直立的竹干部分的高度.。
《周髀算经》乃是算经的十书之一。约成书于公元前1世纪，原名《周髀》，它是我国最古老的天文学著作，主要阐明当时的盖天说和四分历法。唐初规定它为国子监明算科的教材之一，故改名《周髀算经》。《周髀算经》在数学上的主要成就是介绍了勾股定理及其在测量上的应用。原书没有对勾股定理进行证明，其证明是三国时东吴人赵爽在《周髀注》一书的《勾股圆方图注》中给出的。
中国流传至今的一部最早的数学著作，同时也是一部天文学著作。中国古代，按所提出的宇宙模式的不同，天文学共有3家学说，“盖天说”是其中之一，而《周髀算经》是“盖天说”的代表。这派学说主张：天像盖笠，地法覆盆（天空如斗笠，大地像翻扣的盆）。
据考证，现传本《周髀算经》大约成书于西汉时期（公元前1世纪）。南宋时的传刻本（嘉定六年，1213）是目前传世的最早刻本，收藏于上海图书馆。历代许多数学家都曾为此书作注，其中最著名的是唐李淳风等人所作的注。《周髀算经》还曾传入朝鲜和日本，在那里也有不少翻刻注释本行世。
从所包含的数学内容来看，书中主要讲述了学习数学的方法、用勾股定理来计算高深远近和比较复杂的分数计算等。
书中有矩（一种量直角、画矩形的工具）的用途，勾股定理及其在测量上的应用，相似直角三角形对应边成比例定理等数学内容.
在《周髀算经》中还有开平方的问题，等差级数的问题，使用了相当繁复的分数算法和开平方法，以及应用于古代的“四分历”计算的相当复杂的分数运算.还有相当繁杂的数字计算和勾股定理的应用。
该书的第一章叙述了周公、商高问答时提到的勾股定理测量的方法，还举出了一个“勾三股四弦五”的特例。