高等代数，线性代数，证明，迹，行列式。

Question

如题所述

Answer 1

A是正定的，因此存在正交阵C使得:
A=C'
D
C,这里D是由A的特征值组成的行列式（或者单纯理解为D=diag{a1,a2,a3,a4,……an},其中|A|=a1*a2*……*an,且a1，……，an>0），考虑到B、C是行列式为1的正交阵:
而tr(AB)=tr(C'DC
B)=tr(D
CBC')=tr(D
B)=a1
b1+a2
b2+……+an
bn
这里b1……bn是B的对角线上元素。
这里引入一个性质：n阶实对称矩阵的行列式小于等于它的对角线元素之积，等式成立当且仅当这个矩阵为对角阵。
1/n
*
tr(AB)=1/n(a1
b1+a2
b2+……+an
bn)
>=
(a1
b1
a2
b2
……
an
bn)^(1/n)
=
det(A)^(1/n)*(b1
b2
b3
……
bn)^(1/n)
>=
det(A)
|B|^(1/n)
=
det(A)
等号成立当且仅当B为对角阵.
得证。
附：上述性质的证明
设A=（a_i,j）是n阶实对称阵,证明|A|<=a11*a22*……*ann
（ij为下脚标）
记X=diag{√a11,√a22,……,√ann}，则B=X'AX是n阶实对称正定矩阵,B的对角线元素是1，tr(B)=n特征值均为正的。
|B|=
B的特征值之积
<=
(B的特征值之和
/n)^n
（三角不等式）
考虑到特征值之和等于方阵的迹，tr(B)=n,|B|
<=
1
也就是|X'AX|<=1,化简得到|A|<=a11*a22*……*ann