甲乙两辆汽车都从静止出发做加速直线运动，加速度方向一直不变。在第一段时间间隔内，两辆汽车的加速度大小不变，汽车乙的加速度大小是甲的两倍；在接下来的相同时间间隔内，汽车甲的加速度大小增加为原来的两倍，汽车乙的加速度大小减小为原来的一半。求甲乙两车各自在这两段时间间隔内走过的总路程之比。
命题立意：本题考查分阶段的匀变速运动组合问题，难度较小。
解析：设汽车甲在第一段时间间隔末（时间t0）的速度为 ,第一段时间间隔内行驶的路程为s1,加速度为 ,在第二段时间间隔内行驶的路程为s2。由运动学公式得 ① ② ③
设乙车在时间t0的速度为 ，在第一、二段时间间隔内行驶的路程分别为 、 。同样有 ④ ⑤ ⑥
设甲、乙两车行驶的总路程分别为 、 ，则有 ⑦ ⑧
联立以上各式解得，甲、乙两车各自行驶的总路程之比为 ⑨
我来说一个非常经典，原来老师讲过现在都忘不了。值得思考是肯定的，但是估计有点超纲了。这道题思路是非常漂亮的，楼主可以欣赏一下。
题目表述非常简单，就是说一个带电粒子，电荷量+q、质量m，放在匀强电场E、匀强磁场B垂直的混合场里面。如图，电场竖直向上，磁场垂直图的平面向外。一开始粒子静止，我们考察一下粒子的运动曲线是什么。（可以忽略重力）
这个问题按照常规思路很难分析。你说粒子运动是匀加速和匀速圆周的加和，仔细想想不对，因为一旦速度变了圆周运动也得变（因为磁场力和速度有关），最终你没办法下手。这个问题其实在高等数学里面很容易解决，就按照牛顿第二定律列一个矢量微分方程，解出来就可以了（就是计算量稍微有点大）。但是老师给我们讲了一种巧妙的方法，可以用高中知识就解决。
粒子一开始不动，不动就是速度v=0。但是我们可以这样想，v=0实际上也是合运动，是一个向左的-v0匀速直线运动合成一个向右v0的匀速直线运动。这个v0我们随便取。反正只要最后左右的v0抵消就可以。注意，向左右的v0产生的磁场力是向下的，假如我们刚好取一个Bqv0=EQ，也就是v0=E/B的话，向右v0产生的磁场力就把电场力抵消掉了！而左边的-v0干什么呢？现在电场都抵消了，向左的-v0自然和没有电场一样开始匀速圆周运动了，如图，中间的一个大圆圈就是t=0时刻向左-v0产生的运动圆周，P为圆心。但是别忘了向右的那个v0还存在着，抵消了电场力，但是依然在往右走。最后我们得出，粒子的运动轨迹可以看成匀速圆周和匀速直线的合运动，向右的v0代表了一种整体的向右匀速直线运动，可以理解为这个圆心P向右以v0运动；向左的v0理解成粒子在这个动着的圆周上顺时针做匀速圆周运动（速率v0）。
这个问题还没完，圆心以v0运动，圆周上面的点也以v0运动，速率相等。这让我们联想到了车轮子的滚动，可以把这个圆周P想象成一个轮子，在向右滚动（完全不打滑），粒子就是轮子边上的一个点，在随着轮子走，非常形象（可惜百度不能插入动画）。这种轮子完全不打滑的滚动，追踪轮子边上一个点得到的运动曲线，数学上有个专有名词，叫“旋轮线”。至此我们彻底得出了，粒子在这种正交复合场里面无初速的运动，轨迹是一条旋轮线！当然你可以用高中解析几何的知识写出它的运动轨迹方程（不过是时间t的参数方程x=f(t)，y=g(t)的形式。一般来说没办法消去t得到一个x、y的关系式）。
假如粒子一开始有初速度，那也可以在初速度上面加一个+v0和一个-v0，完全仿照上面的做法，只不过这时候圆心运动速率就不等于粒子圆周运动的速率了，对应着轮子打滑时候的旋轮线。
楼主可以暂时把这个问题了解到这，欣赏一下这种思维，楼主如果大学学了理工科专业，会学到微积分，再回头看这道题，用微积分做做看看结果，应该和上面的结果是一样的。这个我觉得本质上就是一种借来还去的思想，就和我们遇到的能喝多少瓶汽水的脑筋急转弯一样，但是它解决了一个往往只用高等数学微积分解决的问题。一般来说解题就是这样，你如果追求思路的简单，就需要比较先进的数学工具（比如微积分解法，就一个牛顿第二定律，完全不用这么费脑筋）；但如果你用简陋的数学工具（中学的加减乘除），就需要像一个巧妙的、消耗脑力的办法。