幂函数导数公式的证明:
y=x^a
两边取对数lny=alnx
两边对x求导(1/y)*y'=a/x
所以y'=ay/x=ax^a/x=ax^(a-1)
在这个过程之中:
1、lny 首先是 y 的函数,y 又是 x 的函数,所以,lny 也是 x 的函数。
2、lny 是一目了然的,是显而易见的,是直截了当的,所以称它为显函数,explicit function。
3、设 u = lny,u 是 y 的显函数,它也是 x 的函数,由于是隐含的,称为隐函数,implicit。
4、u 对 y 求导是 1/y,这是对 y 求导,不是对 x 求导。
5、u 是 x 的隐函数,u 对 x 求导,用链式求导,chain rule。
6、u 对 x 的求导,是先对 y 求导,然后乘上 y 对 x 的求导,也就是:
du/dy = 1/y
du/dx = (du/dy) × (dy/dx) = (1/y) × y' = (1/y)y'。
扩展资料:
幂函数高阶导数公式的推导:
运用导数定义x^n'=((x+Δx)^n-x^n)/Δx
运用二项式展开后并除去Δ的结果中除了C(1,n)x^n-1之外全部是含Δ的项
因为Δ趋于无穷小所以可以直接省掉
所以x^n'=nx^n-1
参考资料来源:百度百科-求导