(2010•济南二模)设数列{an}，{bn}满足:a1=4，a2=52，an+...

Question

(2010•济南二模)设数列{an}，{bn}满足:a1=4，a2=52，an+1=an+bn2，bn+1=2anbnan+bn. (1)用an表示an+1;并证明:∀n∈N+，an＞2; (2)证明:{lnan+2an-2}是等比数列; (3)设Sn是数列{an}的前n项和，当n≥2时，Sn与2(n+43)是否有确定的大小关系?若有，加以证明;若没有，请说明理由.

Answer 1

解答:解:(1)由已知得a1=4，a2=
5
2
，所以b1=1故an+1bn+1=anbn═a1b1=4;
由已知:an＞0，a1＞2，a2＞2，bn=
4
an
∴an+1=
an
2
+
2
an
，
由均值不等式得an+1＞2
故∀n∈N+，an＞2
(2)
an+1+2
an+1-2
=(
an+2
an-2
)2，an+1+2=
(an+2)2
2an
，
an+1-2=
(an-2)2
2an
所以ln
an+1+2
an+1-2
=2ln
an+2
an-2
，所以{ln
an+2
an-2
}是等比数列
(3)由(2)可知ln
an+2
an-2
=(ln3)×2n-1=ln32n-1∴an=
32n-1+1
32n-1-1
设Cn=
4
32n-1
=
4
(32n-2)(32n-2)
＜
1
4
Cn-1，(n≥2)
Cn＜
1
4
Cn-1＜(
1
4
)2Cn-2＜＜(
1
4
)n-1C1=2(
1
4
)n-1
∴当n≥2时，an＜2+2(
1
4
)n-1
Sn=a1+a2++an＜4+2(n-1)+2[
1
4
+(
1
4
)2++(
1
4
)n-1]
=2n+2+2×
1
4
(1-
1
4n-1
)
1-
1
4
=2n+2+
2
3
(1-
1
4n-1
)＜2n+
8
3
.