第1个回答 2021-03-25
设AB与x轴的夹角为θ,A在第一象限,A(x0,y0)。∵y²=2px的准线方程为x=-p/2,由抛物线的定义,有A到准线的距离=A到F的距离。∴x0+p/2=AF。
①假设0<θ<π/2。而,F到准线的距离为p。∴AF=AFcosθ+p。∴AF=p/(1-cosθ)。
又,1-cosθ>0,p>0,∴0<θ<2π时,亦有AF=p/(1-cosθ)。∴丨AF丨=p/(1-cosθ)。
②,∵丨AB丨=丨AF丨+丨BF丨,当AB与x轴夹角θ时,视“BF与x轴”的夹角为“π+θ”。仿丨AF丨的求法,有丨BF丨=p/(1+cosθ)。
∴丨AB丨=p/(1-cosθ)+p/(1+cosθ)=2p/sin²θ。