第1个回答 2022-06-07
最近看《复分析可视化方法》，书中解答了我的很多疑问。
解析函数总可以展开为幂级数，或者说，解析函数就是幂级数。
关于唯一性的解释，首先看代数函数。
n次代数函数，总可以通过n+1个不同的点唯一确定。这根据待定系数法就可以得出。
幂级数其实就是可数次的代数函数，对上面的定理推广，就得出幂级数，总可以通过可数个不同的点唯一确定这一论断。
于是，对于实数而言，给定一个区间上的函数曲线，假如有幂级数与之对应，那肯定是唯一的。
拓展到复数，只要给出了可数个点，就可以唯一确定一个幂级数，或者说解析函数。
这可数个点可以通过各种方法给出，比如一个邻域，一段曲线，甚至是收敛的点列。只要可以确定可数个点，就可以确定唯一的解析函数。
至此，所谓的唯一性定理就没什么神秘的了，它与三个点唯一确定一个二次函数一样，是显然的结论。