(2014•大庆三模)已知函数f(x)=lnx-mx+m，m∈R.(Ⅰ)求函数f...

Question

(2014•大庆三模)已知函数f(x)=lnx-mx+m，m∈R. (Ⅰ)求函数f(x)的单调区间; (Ⅱ)若f(x)≤0在(0，+∞)上恒成立，求实数m的取值范围; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，证明:对任意的0＜a＜b，f(b)-f(a)b-a≤1a-1.

Answer 1

解答:解:(
I)定义域为(0，∞)，f′(x)=
1
x
-m=
1-mx
x
，
当m≤0时，f′(x)=
1-mx
x
＞0(x＞0)，∴f(x)在(0，+∞)上单调递增;
当m＞0时，令f′(x)=
1-mx
x
＞0，得0＜x＜
1
m
，∴f(x)在(0，
1
m
)上单调递增;
令f′(x)=
1-mx
x
＜0，得x＞
1
m
，
∴f(x)在(
1
m
，+∞)上单调递减.
∴当m≤0时，f(x)的单调增区间是(0，+∞)，无单调减区间;
当m＞0时，f(x)的单调增区间是(0，
1
m
)，单调减区间是(
1
m
，+∞).
(
II)由(
I)知，当m≤0时，f(x)在(0，+∞)上单调递增，
且f(e)=lne-me+m=1+m(1-e)＞0，
∴f(x)≤0在(0，+∞)上不恒成立;
当m＞0时，由(
I)得f(x)max=f(
1
m
)=-lnm-1+m，
若使f(x)≤0在(0，+∞)上恒成立，只需-lnm-1+m≤0，
令g(m)=-lnm-1+m，g′(m)=
m-1
m
，
∴当m∈(0，1)时，g'(m)＜0，
当m∈(1，+∞)时，g'(m)＞0，
∴g(m)min=g(1)=0，∴只有m=1符合题意，
综上得，m=1.
(
III)由(
II)知m=1，
∴
f(b)-f(a)
b-a
=
lnb-lna
b-a
-1=
1
a
•
ln
b
a
b
a
-1
-1，
∵b＞a＞0，∴
b
a
＞1，由(
II)得，当x∈(0，+∞)时，lnx≤x-1，
∴ln
b
a
≤
b
a
-1，
∵
b
a
＞1，∴
ln
b
a
b
a
-1
≤1，
∵
1
a
＞0，∴
1
a
•
ln
b
a
b
a
-1
-1≤
1
a
-1，
∴
f(b)-f(a)
b-a
≤
1
a
-1.