怎样将函数展开成幂级数？

Question

如题所述

Answer 1

函数展开成幂级数的一般方法是：

1、直接展开

对函数求各阶导数，然后求各阶导数在指定点的值，从而求得幂级数的各个系数。

2、通过变量代换来利用已知的函数展开式

例如 sin2x 的展开式就可以通过将 sinx 的展开式里的 x 全部换成 2x 而得到。

3、通过变形来利用已知的函数展开式

例如要将 1/(1+x) 展开成 x−1 的幂级数，我们就可以将函数写成 x−1 的函数，然后利用 1/(1+x) 的幂级数展开式。

4、通过逐项求导、逐项积分已知的函数展开式

例如 coshx=(sinhx)′，它的幂级数展开式就可以通过将sinhx 的展开式逐项求导得到。需要注意的是，逐项积分法来求幂级数展开式，会有一个常数出现，这个常数是需要我们确定的。确定的方法就是通过在展开点对函数与展开式取值，令两边相等，就得到了常数的值。

5，利用级数的四则运算

例如 sinhx=(e^x−e^{−x})/2，它的幂级数就可以利用e^x 和 e^{−x} 的幂级数通过四则运算得到。

扩展资料：

幂级数的和函数的性质

性质一：幂级数  的和函数s（x）在其收敛域I上连续。

性质二：幂级数  的和函数s（x）在其收敛域I上可积，并有逐项积分公式

逐项积分后所得的幂级数和原级数有相同的收敛半径。

推论：幂级数  的和函数s（x）在其收敛域内可逐项积分任意次。

性质三：幂级数  的和函数s（x）在其收敛区间  内可导，并有逐项求导公式

逐项求导后所得的幂级数和原级数有相同的收敛半径。

推论：幂级数  的和函数s（x）在其收敛区间  内有任意阶导数。

参考资料：百度百科——幂级数