第1个回答 2014-05-20
课程解读一、学习目标： 1. 了解二元一次方程组及其相关概念，能设两个未知数，列方程组表示实际问题中两种相关的等量关系； 2. 掌握用代入法解二元一次方程组，体会“消元”思想。 二、重点、难点：重点：二元一次方程组的有关概念及用代入法解二元一次方程组。难点：消元思想在解方程组中的运用。 三、考点分析：二元一次方程组的有关概念与多项式等有关内容综合出题是中考的常见题型，二元一次方程组的解法一般融于实际问题或其他知识中，多以填空题、选择题的形式出现，难度不大。 知识梳理 1、二元一次方程（1）二元一次方程：含有两个未知数（x和y），并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。注意：①在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中只有两个未知数。②含有未知数的项（单项式）的次数是1，不可理解为两个未知数的次数都是1。如4xy的次数是2，所以方程4xy＋9＝0不是二元一次方程。③二元一次方程的左边和右边都必须是整式，（2）二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。注意：①一般情况下，一个二元一次方程有无数多个解，但如果对其未知数的取值附加某些限制条件，那么也可能只有有限个解。②二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个。 2、二元一次方程组（1）二元一次方程组：两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。注意：①组成方程组的各方程不必都同时含有两个未知数，只要共含两个未知数的几个一次方程组成的一组方程都是二元一次方程组。②方程组各方程中同一个字母必须代表同一个量，否则不能将两个方程合在一起。（2）二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。注意：①方程组的解必须满足方程组中的各个方程，而方程组中某一个方程的一个解不一定是方程组的解。②在同一方程组中，各个相同未知数应取相同的值。 3、二元一次方程组的解法（1）消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，就可以先解出一个未知数，然后再设法求另一个未知数。这种将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。（2）代入消元法：二元一次方程组中的一个方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程中，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。注意：①用代入法解题时，先比较两个方程的特点，选出一个系数较简单的方程，并用一个未知数表示另一个未知数。②代入时，不要将变形后的方程代入变形前的那个方程中，否则，只能得到一个恒等式，而解不出方程。③当求出一个未知数的值后，通常把这个值代入用这个未知数表示另一个未知数的那个方程中，去求另一个未知数的值；它远比把这个值代入原方程组中任意一个方程去求另一个未知数的值要简便得多。 典型例题知识点一：二元一次方程组 例1：下列方程是不是二元一次方程，为什么？ 思路分析：1）题意分析：本题考查二元一次方程的定义。2）解题思路：根据二元一次方程的定义判断。解答过程：①2x－y＝1是二元一次方程；③y－z＝4是二元一次方程；⑤5x－2y是代数式，不是方程，当然也不是二元一次方程；⑦x＋y＋z＝6含有三个未知数，所以它不是二元一次方程。 解题后的思考：任何一个二元一次方程经过整理、化简后都可化成ax＋by＋c＝0（a、b、c为常数，a≠0，b≠0）的形式，这种形式叫做二元一次方程的一般形式。一般地，整式方程都是用“元”和“次”来定义。 思路分析：1）题意分析：本题考查方程组的解的定义。 解题后的思考：应该仔细体会“已知方程组的解是……”这类已知条件的用法，并加深理解方程组的解的意义。 例3：写出二元一次方程4x＋y＝20的所有正整数解。思路分析：1）题意分析：一般地，二元一次方程的解有无数组，但正整数解是有限的。 2）解题思路：为了求解方便，先将原方程变形为y＝20－4x，由于题中所要求的解限定于“正整数解”，所以x和y的值都必须是正整数。 解答过程：将原方程变形，得y＝20－4x，因为x、y均为正整数，所以x只能取小于5的正整数。当x＝1时，y＝16；当x＝2时，y＝12；当x＝3时，y＝8；当x＝4时，y＝4。 解题后的思考：对“所有正整数解”的含义的理解要注意两点：一要范围正确，二要不重不漏。“正确”的标准是两个未知数的值都必须是正整数，且适合此方程。 例4：一辆汽车从甲地到乙地，若以60km/h的速度行驶，比预计时间提前1小时，若以40km/h的速度行驶，则超出预计时间1小时，求甲、乙两地的距离和预计时间。思路分析： 1）题意分析：把预计时间设为x h，甲、乙两地的距离设为y km，相等关系是：路程＝速度×时间。 2）解题思路：解本题的关键是弄清两个时间，即（x－1）h与（x＋1）h，可列两个方程组成方程组。解答过程：设预计时间为x h，甲、乙两地的距离为y km， 解得x＝5（h），所以y＝60×（5－1）＝240（km）。答：预计时间为5h，甲、乙两地的距离为240km。 解题后的思考：解决此类题时先要认真分析题意，再弄清每一句话、每一个条件，最后从中找出正确的等量关系列出方程。 小结：与二元一次方程及二元一次方程组定义有关的问题主要有两类：一是通过把一组未知数的值代入方程组，检验其是不是方程组的解，或求出方程组中字母系数的值；二是求二元一次方程在特定条件下的解。 知识点二：用代入消元法解二元一次方程组 思路分析： 1）题意分析：本题考查用代入消元法解方程组，观察发现方程②中x的系数最简单，是1。 2）解题思路：要考虑将一个方程中的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示，方程②中x的系数是1，因此可将方程②变形，用含y的代数式表示x，再代入①中求解。解答过程：由②得：x＝8－3y ③把③代入①得：2（8－3y）＋5y＝－21解得：y＝37把y＝37代入③得：x＝8－3×37＝－103 解题后的思考：用代入法解方程组时，一般选择系数较简单的方程进行变形，在本例中是方程②。求出一个未知数的值以后，求另一个未知数时，通常将值代入变形后的方程中，在本例中是方程③。 思路分析： 1）题意分析：这两个方程中未知数的系数都不是1或－1，但比较而言，方程①的系数较为简单。 2）解题思路：选择其中一个方程，将其变形成y＝ax＋b或x＝ay＋b的形式，再代入另一个方程求解。方程①中x、y的系数相对较小， 解题后的思考：用代入法解方程组时，（1）选择变形的方程要尽可能简单，表示的代数式也应尽可能简捷。（2）要对后面的计算进行预见、估计，以选择较好的方法。 思路分析：1）题意分析：这个方程组中两个方程的各项都含有分母，应先去分母，再求解。 2）解题思路：当二元一次方程组中未知数的系数不是整数，要求我们用代入法求解时，通常应先将方程中的系数化为整数，后求解。