求函数y=loga(x-x2)(a>0且a不等于1）的定义域，值域，单调区间

Question

如题所述

Answer 1

解：
f(x)=loga(x-x^2) (a>0且a≠1）
（1）定义域：
x-x^2>0
x(1-x)>0
0<x<1
所以 函数定义域是（0,1）

（2）值域：
因为x-x^2<=1/4，当x=1/2时取等号
由（1）得 x-x^2>0
所以 0<x-x^2<=1/4。
当0<a<1时，函数y=loga(x)单调递减，所以f(x)=loga(x-x2)值域为[-loga(4)，正无穷）
当a>1时，函数y=loga(x)单调递增，f(x)=loga(x-x^2)值域为（负无穷，-loga(4)]。

（3）单调区间：
由（1）知函数定义域是0<x<1
t=x-x2=-(x-1/2)²+（1／4）
所以当0＜a＜1时，
增区间是（1／2，1）
减区间是（0，1／2）
当a＞1时
增区间是（0，1／2）
减区间是（1／2，1）

Answer 2

定义域
x^2-2x+3>0
x^2-2x+3=(x-1)^2+2≥2>0
所以x^2-2x+3>0恒成立
所以定义域是R

x^2-2x+3〉=2
所以若a>1,则是增函数
所以值域[2，+∞)
若0<a<1,则是减函数
所以值域(-∞,2]

单调区间
t=x-x2>0
0<x<1
t=x-x2=-(x-1/2)²+1／4
0＜a＜1
增区间（1／2，1）
减区间（0，1／2）
a＞1
增区间（0，1／2）
减区间（1／2，1）