经济学 关于纳什均衡

Question

Two people are engaged in a joint project. If each person i puts in
the effort xi , a nonnegative number equal to at least 0 and at most
1, which costs her c (xi) ; the outcome of the project is worth f(x1;
x2) : The worth of the project is split equally between the two
people, regardless of their effort levels.
Find its Nash equilibria when f
(x1, x2) = 3x1x2; c(xi)
= xi2 for i = 1,2
Hint: find the best response of each player to the
other player’s effort, and cross the best responses. There is only one solution
(x1*,x2*)

Is there a pair of effort
levels that would yield both players higher payoffs than the Nash equilibriumeffort levels? How do we call this type of situation?

Answer 1

先翻一下：

2个人参与了一个联合工程项目。如果每个人i做出了xi的贡献，那么他的成本是一个0-1之间的非负数；这个项目的实施后所得收入是 f(x1; x2) ，并且不论他们的贡献是多少，这个项目的收入在两个人之间平分。

当f(x1, x2) = 3x1x2; c(xi)= xi2 for i = 1,2 的时候，纳什均衡是什么样的？

提示：当一个人做出决定后，找出另一个人的最优决定；并在这个基础上，找出整体唯一的纳什均衡点(x1*,x2*)。

是否存在这样一个组合使得每个人的收入比纳什均衡更高？我们管这个情况叫做什么？

你写的c(xi)= xi2 是不是Xi^2也就是Xi的平方的意思？我先假设是这样：

答：

1) 根据你的公式，两个人各自的所得为f(x1, x2) / 2 = 3*x1*x2 / 2。并且两个人的成本为Xi^2。

则第1个人的利润为：3*x1*x2 / 2 - X1^2；第2个人的利润为：3*x1*x2 / 2 - X2^2

因为每个人都希望利润最大化，所以对这两个公式同时求最大值：3*X2/2 - 2X1=0；且3*X1/2 - 2X2=0

而这个方程无解，也就是说纳什均衡为0,0，因为每个人不需要努力也能够获得一半的收入，而不努力就没有成本从而获得纯收入，所以每个人都不想努力做这件事情，最后导致也就是说这件事情没人去做。

2) 而如果两个人不计前嫌，全都投入，则当X1 = X2 =1的时候，X1,2各自的所得为：(3*1*1 / 2) - 1^2 = 0.5，这比起纳什均衡的时候（收益为0）两个人都获得了更高的利润，这种情况下两个人为了取得更高的利益进行协商后进行合作，叫做卡特尔组织Cartel。

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